1 . “已知数列为等差数列，它的前项和为，若存在正整数，使得，则”，类比上述结论，若正项数列为等比数列，__________.

2 . 已知数列，从中选取第项、第项、、第项，若，则称新数列为的长度为m的递增子列.规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列.
（Ⅰ）写出数列的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）设数列.若数列的长度为p的递增子列中，任意三项均不构成等差数列，求p的最大值；
（Ⅲ）设数列为等比数列，公比为q，项数为.判定数列是否存在长度为3的递增子列：？若存在，求出N的最小值；若不存在，说明理由.

3 . 在等差数列中，若，则有等式成立．
类比这一性质，相应地在等比数列中，若，则有等式_______

4 . 已知数列满足：对任意，若，则，且，设，集合中元素的最小值记为；集合，集合中元素最小值记为.
（1）对于数列：，求，；
（2）求证：；
（3）求的最大值.

5 . （1）已知数列为等差数列，其前n项和为.若，试分别比较与、与的大小关系.
（2）已知数列为等差数列，的前n项和为.证明：若存在正整数k，使，则.
（3）在等比数列中，设的前n项乘积，类比（2）的结论，写出一个与有关的类似的真命题，并证明.