1 . 已知数列满足：，，记数列，
（1）证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在数列的不同项使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项；若不存在，请说明理由．

2 . 已知且，如果数列满足：对于任意的，均有，其中，那么称数列为“紧密数列”.
（1）若“紧密数列”：为等差数列，，求数列的公差d的取值范围；
（2）数列为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的，均有；
（3）数列为“紧密数列”，对于任意的，且成立，求S的最小值.

3 . 已知数列 满足：，，；数列 满足：．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）证明：数列 中的任意三项不可能成等差数列．

4 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

5 . 若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.
（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；
（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.

6 . 已知，试证明至少有一个不小于1．