名校
解题方法
1 . 设整数集合
，其中
，且对于任意
，若
，则
．
(1)请写出一个满足条件的集合A；
(2)证明：任意
，
．
，其中，且对于任意，若，则．(1)请写出一个满足条件的集合A；
(2)证明：任意
，．
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名校
2 . 设集合
为
元数集，若的2个非空子集
满足：
，则称为的一个二阶划分．记
中所有元素之和为
中所有元素之和为
．
(1)若
，求的一个二阶划分，使得
；
(2)若
．求证：不存在的二阶划分满足
；
(3)若
为的一个二阶划分，满足：①若
，则
；②若
，则
．记
为符合条件的的个数，求的解析式．
为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为．(1)若
，求的一个二阶划分，使得；(2)若
．求证：不存在的二阶划分满足；(3)若
为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式．
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2023-07-17更新
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475次组卷
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5卷引用：北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题
北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期开学考试数学试题（已下线）难关必刷01集合的综合问题（3种题型40题专项训练）-【满分全攻略】（人教A版2019必修第一册）（已下线）第三章 函数的概念与性质-【优化数学】单元测试能力卷（人教A版2019）（已下线）专题03 函数的概念与性质3-2024年高一数学寒假作业单元合订本
3 . 对于向量
，若
，
，
三数互不相等，令向量
，其中
，
，
，
.
(1)当
时，试写出向量
；
(2)证明：对于任意的
，向量
中的三个数
，
，
至多有一个为0；
(3)若
，证明：存在正整数
，使得
.
，若，，三数互不相等，令向量，其中，，，.(1)当
时，试写出向量；(2)证明：对于任意的
，向量中的三个数，，至多有一个为0；(3)若
，证明：存在正整数，使得.
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2023-03-28更新
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669次组卷
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3卷引用：北京市第二十中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
名校
4 . 已知集合
，且集合
具有以下性质：
①中的元素有正整数，也有负整数；
②中的元素有奇数，也有偶数；
③若
，则
；
④
.
回答下列问题.
(1)若
，求证：
；
(2)判断集合是有限集还是无限集，并说明理由；
(3)判断0和2与集合的关系，并说明理由.
，且集合具有以下性质：①
中的元素有正整数，也有负整数；②
中的元素有奇数，也有偶数；③若
，则；④
.回答下列问题.
(1)若
，求证：；(2)判断集合
是有限集还是无限集，并说明理由；(3)判断0和2与集合
的关系，并说明理由.
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2022-12-03更新
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135次组卷
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2卷引用：北京市广渠门中学2022-2023学年高一上学期期中质量检测数学试题
5 . 设n为正整数
，若
满足：①
；②对于
，均有
，则称
具有性质
．对于和
，定义集合
．
(1)已知
，判断和
是否具有性质
（直接写出结果）；
(2)设
，且具有性质
，写出一个及相应的
；
(3)设和具有性质
，那么是否可能为
？若可能，写出一组和；若不可能，说明理由．
，若满足：①；②对于，均有，则称具有性质．对于和，定义集合．(1)已知
，判断和是否具有性质（直接写出结果）；(2)设
，且具有性质，写出一个及相应的；(3)设
和具有性质，那么是否可能为？若可能，写出一组和；若不可能，说明理由．
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名校
6 . 对于有限数列
，如果
，则称数列具有性质P.
(1)判断数列
和
是否具有性质，并说明理由;
(2)求证：若数列
具有性质
，则对任意互不相等的
，有
;
(3)设数列
具有性质，每一项均为整数，
，求
的最小值.
，如果，则称数列具有性质P.(1)判断数列
和是否具有性质，并说明理由;(2)求证：若数列
具有性质，则对任意互不相等的，有;(3)设数列
具有性质，每一项均为整数，，求的最小值.
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名校
7 . 已知集合
（
且
），
，且
．若对任意
，
，当
时，存在
，使得
，则称是
的
元完美子集．
(1)判断下列集合是否是
的3元完美子集，并说明理由；
①
；
②
；
(2)若
是
的3元完美子集，求
的最小值；
(3)若是
（且）的元完美子集，求证：
．
（且），，且．若对任意，，当时，存在，使得，则称是的元完美子集．(1)判断下列集合是否是
的3元完美子集，并说明理由；①
； ②
；(2)若
是的3元完美子集，求的最小值；(3)若
是（且）的元完美子集，求证：．
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2022-05-12更新
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698次组卷
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4卷引用：北京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
北京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题北京市第二中学2022—2023学年高一下学期第六学段阶段性考试数学试题重庆市杨家坪中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题（已下线）专题16 数列新定义题的解法 微点2 数列新定义题综合训练
8 . 对于正整数
，
，存在唯一一对整数
和
，使得
，
.特别地，当
时，称能整除，记作
，已知
(1)存在
，使得
，试求的值；
(2)求证.不存在这样的函数
：
，使得对任意的整数
，
，若
，则
(3)若
，
（
指集合中的元素的个数）.且存在
，
，，则称为“和谐集”.判断：当
时，集合中有12个元素并且含有的任意子集是否都为“和谐集”，并说明理由.
，，存在唯一一对整数和，使得，.特别地，当时，称能整除，记作，已知(1)存在
，使得，试求的值；(2)求证.不存在这样的函数
：，使得对任意的整数，，若，则(3)若
，（指集合中的元素的个数）.且存在，，，则称为“和谐集”.判断：当时，集合中有12个元素并且含有的任意子集是否都为“和谐集”，并说明理由.
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2022-04-09更新
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211次组卷
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2卷引用：北京市第五中学2021-2022学年高一3月第一次阶段检测数学试题
9 . 设n是不小于3的正整数，集合
，对于集合Sn中任意两个元素
．定义
．若
，则称A，B互为相反元素，记作
或
．
(1)若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出
，
，以及A·B的值；
(2)若
，证明：
；
(3)设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合
，且对于集合M中任意两个不同的元素
，都有
，试求集合M中元素个数的所有可能的取值．
，对于集合Sn中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或．(1)若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出
，，以及A·B的值；(2)若
，证明：；(3)设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合
，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值．
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名校
10 . 定义：给定整数
，如果非空集合满足如下3个条件：①
；② 
；③ 
若
， 则
；则称集合为“减集”.
(1)
是否为“减
集”？是否为“减
集”？简要说明理由；
(2)证明：不存在 “减
集”？
(3)是否存在“减集”？如果存在，求出所有“减集”；如果不存在，说明理由.
，如果非空集合满足如下3个条件：①；② ；③ 若， 则；则称集合为“减集”.(1)
是否为“减集”？是否为“减集”？简要说明理由；(2)证明：不存在 “减
集”？(3)是否存在“减
集”？如果存在，求出所有“减集”；如果不存在，说明理由.
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