1 . 设正整数
，集合
，对于集合
中的任意元素
和
，及实数
，定义：当且仅当
时
；
；
.
若的子集
满足：当且仅当
时，
，则称
为的完美子集.
(1)当
时，已知集合
，
.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；
(2)当时，已知集合
.若不是的完美子集，求
的值；
(3)已知集合
，其中
.若
对任意
都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若
的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.(1)当
时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；(2)当
时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；(3)已知集合
，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
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2021-11-04更新
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761次组卷
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7卷引用：北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
北京市陈经纶中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷北京市海淀区2022届高三上学期期中练习数学试题北京市顺义区杨镇第一中学2023届高三上学期10月月考数学试题北京市汇文中学2023届高三上学期期中考试数学试题北京市东直门中学2022-02023学年高一下学期期中考试数学试题（已下线）高一上学期期中考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列（已下线）单元高难问题01集合中的新定义问题-【倍速学习法】（人教A版2019必修第一册）
名校
2 . 已知实数p满足不等式
，用反证法证明：关于x的方程
无实数根.
，用反证法证明：关于x的方程无实数根.
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3 . 对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a1，a2，a3，a4}，其中，a1＜a2＜a3＜a4不可能是“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a1，a2，a3，a4}，其中，a1＜a2＜a3＜a4不可能是“平衡集”．
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2021-10-24更新
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279次组卷
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2卷引用：北京市顺义牛栏山第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
4 . 已知
.
（1）求证：
；
（2）若
，求证：
和
中至少有一个大于
.
.（1）求证：
；（2）若
，求证：和中至少有一个大于.
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2021-10-19更新
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567次组卷
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3卷引用：河南省南阳市第一中学2021-2022学年高二下学期第一次月考文科数学试题
名校
解题方法
5 . 已知a、b、c是互不相等的正实数．
（1）若a、b、c成等差数列，求证：
、
、
不可能是等比数列；
（2）设
的三内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若
、
、
成等差数列，求证
．
（1）若a、b、c成等差数列，求证：
、、不可能是等比数列；（2）设
的三内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若、、成等差数列，求证．
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2021-10-18更新
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371次组卷
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2卷引用：河南省豫北名校2021-2022学年高二下学期4月份教学质量检测文科数学试题
名校
解题方法
6 . 若数列
的前
项和为
，且满足等式
.
（1）求数列的通项公式；
（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；
（3）令
，记函数
的图像在
轴上截得的线段长为
，设
，求
，并证明：
.
的前项和为，且满足等式.（1）求数列
的通项公式；（2）能否在数列
中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；（3）令
，记函数的图像在轴上截得的线段长为，设，求，并证明：.
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2021-10-18更新
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1356次组卷
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10卷引用：上海市大同中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题
上海市大同中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题上海市松江一中2021-2022学年高二上学期期末数学试题（已下线）上海高二下学期期末真题精选（压轴60题35个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）上海市嘉定区第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）新疆维吾尔自治区喀什第六中学2023届高三上学期9月实用性月考（一）数学（文）试题新疆维吾尔自治区喀什第六中学2023届高三上学期9月实用性月考（一）数学（理）试题（已下线）广东省2022届高三一模数学试题变式题17-22（已下线）专题11 数列前n项和的求法 微点5 裂项相消法求和（三）（已下线）专题15 数列不等式的证明 微点3 通项放缩法证明数列不等式
名校
7 . 已知平面
平面
，
，
，
且
，用反证法证明：b，c是异面直线.
平面，，，且，用反证法证明：b，c是异面直线.
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8 . （1）求证：
；
（2）已知
，
，且
，用反证法证明：
和
中至少有一个小于2.
；（2）已知
，，且，用反证法证明：和中至少有一个小于2.
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2021-10-13更新
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281次组卷
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4卷引用：陕西省西安市鄠邑区第一中学2021-2022学年高二下学期第一次月考文科数学试题(B卷)
名校
解题方法
9 . 对于数集X={-1，x1，x2，
，xn}，其中
，n ≥ 2，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称X具有性质P.例如{-1，1，2}具有性质P.
（1）若x > 2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2〉若X具有性质P，求证：1 ∈X ，且当xn >1 时，x1= 1；
（3）若X具有性质P，且x1= 1 ，x2 =q （q为常数），求有穷数列x1，x2，，xn的通项公式.
，xn}，其中，n ≥ 2，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如{-1，1，2}具有性质P.（1）若x > 2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2〉若X具有性质P，求证：1 ∈X ，且当xn >1 时，x1= 1；
（3）若X具有性质P，且x1= 1 ，x2 =q （q为常数），求有穷数列x1，x2，
，xn的通项公式.
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2021-08-29更新
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490次组卷
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6卷引用：北京市中关村中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题
10 . 列三角形数表
假设第行的第二个数为
（1）归纳出
与
的关系式并求出的通项公式；
（2）求证：数列
中任意的连续三项不可能构成等差数列．
假设第
行的第二个数为（1）归纳出
与的关系式并求出的通项公式；（2）求证：数列
中任意的连续三项不可能构成等差数列．
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2021-08-02更新
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181次组卷
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2卷引用：安徽省黄山市2020-2021学年高二下学期期末文科数学试题
