1 . 设数列
满足
，且对任意整数
是最小的不同于
的正整数，使得
与
互质，但不与
互质.证明：每个正整数都在中出现.
满足，且对任意整数是最小的不同于的正整数，使得与互质，但不与互质.证明：每个正整数都在中出现.
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2 . 对于函数
，则称x为
的“不动点”，若
，则称x为的“和谐点”，函数的“不动点”和“和谐点”的集合分别为M，N即
．
(1)求证：
；
(2)若为单调递增时，是否有
？并证明；
(3)若
，且
，求实数a最大值与最小值的积．
，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“和谐点”，函数的“不动点”和“和谐点”的集合分别为M，N即．(1)求证：
；(2)若
为单调递增时，是否有？并证明；(3)若
，且，求实数a最大值与最小值的积．
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名校
解题方法
3 . 设函数
.
(1)证明：存在唯一的函数
，使得
；
(2)求所有的非负实数
使得
；
(3)
，
（i）证明：关于的方程
与
都有唯一实根；
（ii）记
分别为方程，的实根，证明：
.
.(1)证明：存在唯一的函数
，使得；(2)求所有的非负实数
使得；(3)
，（i）证明：关于
的方程与都有唯一实根；（ii）记
分别为方程，的实根，证明：.
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4 . 如图，在三棱柱
中，底面
是边长为1的正三角形，
是
的中点.
(1)若二面角
的平面角的余弦值为
.
（i）求侧面
的面积；
（ii）求
与平面所成角的正弦值.
(2)直线与平面
能否垂直？给出结论，并给予证明.
中，底面是边长为1的正三角形，是的中点.(1)若二面角
的平面角的余弦值为.（i）求侧面
的面积；（ii）求
与平面所成角的正弦值.(2)直线
与平面能否垂直？给出结论，并给予证明.
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