1 . 现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.
（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；
（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.

2 . 在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.
(1)，计算与；
(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.

3 . 设多项式，证明：至少有一个根为虚根．

4 . 设是虚数，是实数且.
(1)求的值以及实部的取值范围；
(2)若，求证：为纯虚数.

5 . 棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则．已知的辐角主值为，的辐角主值为，利用棣莫弗定理猜测的辐角，并证明．

6 . 定义：复数是（a、）的转置复数，记为．显然，，即z与互为转置复数．综合共轭复数的一些运算性质，如等尝试发现一个有关转置复数的运算性质或其他结论，并证明．

7 . 设.
(1)证明：；
(2)在复数范围内，利用公式解方程.

8 . 已知（且）．
(1)证明：；
(2)设z的辐角为，求的值．

9 . 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
(1)设，，为虚数单位，求复向量、的模；
(2)设、是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数．

10 . 已知虚数z满足.
(1)求证：在复平面内对应的点在直线上；
(2)若是方程的一个根，求与.