1 . 设复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明：
(1)；
(2)．

2 . 现有以下三个式子：①；②；③（为虚数单位），某同学在解题时发现以上三个式子的值都等于同一个常数．
(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．

3 . 设复数数列满足：，且对任意正整数n，均有：.若复数对应复平面的点为，O为坐标原点.
(1)求的面积；
(2)求；
(3)证明：对任意正整数m，均有.

4 . 已知复数的共轭复数为，且
（1）证明：是一个定值，并求出这个定值；
（2）是否存在实数，使得对于任意的复数，总是实数？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由.

5 . 若为虚数，且，求证为纯虚数.