1 . （1）用长度分别为2，3，4，5，6的细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够得到的三角形面积的最大值与最小值；
（2）若用条长度分别为，，…，的细木棒围成三角形，你能发现三角形面积的变化规律吗？写出从中发现的两条规律．

2 . 某加工厂有一块三角形的铁板余料（如图），经测量得知：，，．工人师傅计划用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分（含的3个角）切去，再把它沿虚线折起，请计算当容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

3 . 如图，AB是半球的直径，O为球心，，P为此半球大圆弧上的任意一点（异于A，B），P在水平大圆面AOB内的射影为Q，过Q作QR⊥AB于R，连接PR，OP，若二面角P-AB-Q为，则三棱锥P-OQR体积的最大值为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 已知某四面体的四条棱长度为，另外两条棱长度为，则下列说法正确的是（       ）

A．若且该四面体的侧面存在正三角形，则

B．若且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积

C．若且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积

D．对任意，记侧面存在正三角形时四面体的体积为，记对棱均相等时四面体的体积为，恒有

5 . 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，在一个轴截面是等边三角形的圆锥PO内作一个内接圆柱，其中.

(1)若圆柱的轴截面是正方形，求该圆柱的体积；
(2)求内接圆柱体积的最大值.

7 . 我们用，，，…，（，且）表示n个变量，就如同a、b、c、d、e、f等表示变量一样．已知，，，…，（，且）均为正数．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)请将命题（1）、（2）推广到一般情形（不作证明）．

8 . 已知为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解决（3）中的实际问题.
（1）请根据基本不等式（），证明：；
（2）请利用（1）的结论，证明：；
（3）如图，将边长为1米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，在这层一个无盖纸盒.如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？