对于正整数集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a1，a2，a3，a4}，其中，a1＜a2＜a3＜a4不可能是“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a1，a2，a3，a4}，其中，a1＜a2＜a3＜a4不可能是“平衡集”．
更新时间：2021-10-24 09:55:47
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知直角
的三边长
，满足
（1）在
之间插入2011个数，使这2013个数构成以
为首项的等差数列
，且它们的和为
，求的最小值；
（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列
，且
，求满足不等式
的所有
的值；
（3）已知成等比数列，若数列
满足
，证明：数列
中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且
是正整数.
的三边长，满足（1）在
之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；（2）已知
均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；（3）已知
成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】已知
，
，给定
个整点
，其中
，
，
.
（1）当
时从上面的
个整点中任取两个不同的整点
，
，求
的所有可能值；
（2）从上面个整点中任取m个不同的整点，
.
（i）证明：存在互不相同的四个整点，
，，
，满足
，
，
；
（ⅱ）证明：存在互不相同的四个整点，
，，
，满足
，.
，，给定个整点，其中，，.（1）当
时从上面的个整点中任取两个不同的整点，，求的所有可能值；（2）从上面
个整点中任取m个不同的整点，.（i）证明：存在互不相同的四个整点
，，，，满足，，；（ⅱ）证明：存在互不相同的四个整点
，，，，满足，.
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是定义在
上的函数，如果存在常数
，和式
恒成立，则称
。
在
上是“绝对差有界函数”。
不是
上的“绝对差有界函数”。
存在常数
，对任意的
，有
成立
，证明集合
是否在集合
的最小值；如果不在，请说明理由。
解答题-问答题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】给定数列
(1)判断
是否为有理数,证明你的结论;
(2)是否存在常数
.使
对
都成立? 若存在,找出
的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.
(1)判断
是否为有理数,证明你的结论;(2)是否存在常数
.使对都成立? 若存在,找出的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】已知
且
，如果数列
满足：对于任意的
，均有
，其中
，那么称数列为“紧密数列”.
（1）若“紧密数列”：
为等差数列，
，求数列的公差d的取值范围；
（2）数列
为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的
，均有
；
（3）数列为“紧密数列”，对于任意的
，且
成立，求S的最小值
.
且，如果数列满足：对于任意的，均有，其中，那么称数列为“紧密数列”.（1）若“紧密数列”
：为等差数列，，求数列的公差d的取值范围；（2）数列
为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的，均有；（3）数列
为“紧密数列”，对于任意的，且成立，求S的最小值.
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，如果
，则称数列
和
是否具有性质
，并说明理由;
具有性质
，则对任意互不相等的
，有
;
具有性质
，求
的最小值.
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知集合
，若
中元素的个数为
，且存在
，使得
，则称是
的
子集．
(1)若
，写出的所有
子集；
(2)若为的子集，且对任意的
，存在
，使得
，求
的值．
，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集．(1)若
，写出的所有子集；(2)若
为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】已知集合
，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素
，若
都不能整除
，则称集合A是S的“好子集”．
(1)分别判断数集
与
是否是集合S的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，
，都有
；
(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．
，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合A是S的“好子集”．(1)分别判断数集
与是否是集合S的“好子集”，并说明理由；(2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，
，都有；(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．
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（
，
），记有序数对
，若对任意
，
，
，
且
，A同时满足下列条件，则称
；
.
