【推荐1】2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【推荐2】某手机生产商计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本20万元，每生产（千）部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.05万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2023年的利润（万元）关于年产量（千）部的函数关系式；（利润销售额成本）
(2)2023年产量为多少时，该生产商所获利润最大?最大利润是多少?

【推荐3】如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；
（2）若规定炮弹的射程不小于6千米，设在此条件下炮弹射出的最大高度为，求的最小值.

【推荐1】已知实数，且．
(1)证明：；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

【推荐2】（1）若，求的最小值及对应的值；
（2）若，求的最小值及对应的值．

【推荐3】已知关于的不等式．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式仅有一个解，求的最小值．