党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向,为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程.为了调动大家积极学习党的二十大精神,某市举办了党史知识的竞赛.甲、乙两个单位进行党史知识竞赛,每个单位选出3人组成甲、乙两支代表队,每队初始分均为3分,首轮比赛每人回答一道必答题,答对则为本队得2分,答错或不答扣1分,已知甲队3人每人答对的概率分别为
;乙队每人答对的概率都是
,设每人回答正确与否相互之间没有影响,用X表示首轮甲队总分.
(1)求随机变量X的分布列及其数学期望
;
(2)求在甲队和乙队总分之和为12分的条件下,甲队与乙队得分相同的概率.
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(1)求随机变量X的分布列及其数学期望
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(2)求在甲队和乙队总分之和为12分的条件下,甲队与乙队得分相同的概率.
更新时间:2023-04-13 11:45:09
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解答题-应用题
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解题方法
【推荐1】甲、乙两名同学进行中国象棋比赛,每局比赛甲获胜的概率是
,乙获胜的概是
,规定:每一局比赛中胜方记1分,负方记0分,先得3分者获胜,比赛结束.
(1)求比赛结束时,恰好进行4局的概率.
(2)若甲以2:1领先乙时,记X表示比赛结束时还需要进行的局数,求X的分布列及数学期望.
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(1)求比赛结束时,恰好进行4局的概率.
(2)若甲以2:1领先乙时,记X表示比赛结束时还需要进行的局数,求X的分布列及数学期望.
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解答题-应用题
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解题方法
【推荐2】甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4.甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练,下午进行正式比赛.
(1)上午的3局热身训练中,求甲恰好胜2局的概率;
(2)下午的正式比赛中:
①若采用“3局2胜制”,求甲所胜局数x的分布列与数学期望;
②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时,甲获胜的概率;对甲而言,哪种局制更有利?你对局制长短的设置有何认识?
(1)上午的3局热身训练中,求甲恰好胜2局的概率;
(2)下午的正式比赛中:
①若采用“3局2胜制”,求甲所胜局数x的分布列与数学期望;
②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时,甲获胜的概率;对甲而言,哪种局制更有利?你对局制长短的设置有何认识?
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解答题-证明题
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【推荐3】“五一”期间,甲乙两个商场分别开展促销活动.
(Ⅰ)甲商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖一次,从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球,中奖情况如下表:
记
为抽奖一次获得的奖金,求
的分布列和期望.
(Ⅱ)乙商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖10次.其中,第
次抽奖方法是:从编号为
的袋中(装有大小、形状相同的
个白球和
个黑球)摸出
个球,若该次摸出的
个球颜色都相同,则可获得奖金
元;记第
次获奖概率
.设各次摸奖的结果互不影响,最终所获得的总奖金为10次奖金之和.
①求证:
;
②若某顾客购买120元的商品,不考虑其它因素,从获得奖金的期望分析,他应该选择哪一家商场?
(Ⅰ)甲商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖一次,从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球,中奖情况如下表:
摸出的结果 | 获得奖金(单位:元) |
4个白球或4个黑球 | 200 |
3个白球1个黑球或3个黑球1个白球 | 20 |
2个黑球2个白球 | 10 |
记
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(Ⅱ)乙商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖10次.其中,第
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
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①求证:
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②若某顾客购买120元的商品,不考虑其它因素,从获得奖金的期望分析,他应该选择哪一家商场?
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名校
【推荐1】某企业监控汽车零件的生产过程,现从汽车零件中随机抽取100件作为样本,测得质量差(零件质量与标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表:
(1)求样本质量差的平均数
;假设零件的质量差
,其中
,用
作为
的近似值,求
的值;
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线,其中全部零件的
来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012,且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.
(i)求抽取的零件为废品的概率;
(ii)若抽取出的零件为废品,求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据:若随机变量
,则
.
质量差(单位:![]() | 54 | 57 | 60 | 63 | 66 |
件数(单位:件) | 5 | 21 | 46 | 25 | 3 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c85481cd7e94130ef3aa05b4a39e79cd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53c1ed67167078ea4f5f1ee53ee14164.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/14dc5eeed33070b609a4421a3a5fc064.png)
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线,其中全部零件的
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8b2a698891d42c70b597f0da4f215f09.png)
(i)求抽取的零件为废品的概率;
(ii)若抽取出的零件为废品,求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据:若随机变量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53c1ed67167078ea4f5f1ee53ee14164.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1748484d4cf166d176b4e15d89d88329.png)
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解题方法
【推荐2】2022年北京冬奥会圆满落幕,随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮.为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度,某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查,得到以下信息:
①抽取的学生中,男生占的比例为60%;
②抽取的学生中,不喜欢雪上运动的学生占的比例为45%.
③抽取的学生中,喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多50人.
(1)完成2×2列联表,依据小概率值α=0.001的χ²独立性检验,能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联?
(2)(i)从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人,再从这20人中随机抽取3人.记事件A=“至少有2名是男生”,事件B=“至少有2名喜欢雪上运动的男生”,事件C=“至多有1名喜欢雪上运运的女生”.试分别计算
和
的值.
(ii)根据第(i)问中的结果,分析
与
的大小关系.
参考公式及数据
,
.
①抽取的学生中,男生占的比例为60%;
②抽取的学生中,不喜欢雪上运动的学生占的比例为45%.
③抽取的学生中,喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多50人.
(1)完成2×2列联表,依据小概率值α=0.001的χ²独立性检验,能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联?
喜欢雪上运动 | 不喜欢雪上运动 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ccdfce3e1a14a3c03fb83779afeb6ab2.png)
(ii)根据第(i)问中的结果,分析
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ccdfce3e1a14a3c03fb83779afeb6ab2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b73d4f48d35918c339adf6fbd9082a0.png)
参考公式及数据
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2187714e660234f0b72f2b47d3ea685a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/356b05e46b10ee51c3e43546d73ec96c.png)
![]() | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
![]() | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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解题方法
【推荐1】某校体育节组织定点投篮比赛,每位参赛选手共有3次投篮机会.统计数据显示,每位选手投篮投进与否满足:若第
次投进的概率为
,当第
次投进时,第
次也投进的概率保持
不变,当第
次没能投进时,第
次能投进的概率为
.
(1)若选手甲第1次投进的概率为
,求选手甲至少投进一次的概率;
(2)设选手乙第1次投进的概率为
,每投进1球得1分,投不进得0分,求选手得分
的分布列与数学期望.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/44fed1be8b7e50f18cb90077d9fce8e4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b00f4eb7f1bd2ccefbabf0c1dfa8f69.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b00f4eb7f1bd2ccefbabf0c1dfa8f69.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bbb6ae45597c0f235df54453c248dd8d.png)
(1)若选手甲第1次投进的概率为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f89eef3148f2d4d09379767b4af69132.png)
(2)设选手乙第1次投进的概率为
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
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【推荐2】2022年北京冬奥会的志愿者中,来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为:甲高校学生志愿者7名,教职工志愿者2名;乙高校学生志愿者6名,教职工志愿者3名;丙高校学生志愿者5名,教职工志愿者4名.
(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名,求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率;
(2)先从三所高校中任选一所,再从这所高校的志愿者中任取一名,求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名,求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率;
(2)先从三所高校中任选一所,再从这所高校的志愿者中任取一名,求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
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解题方法
【推荐3】已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球,上面分别标有大写英文字母
、
和小写英文字母
、
;乙箱中有
个与甲箱大小、形状完全相同的小球,上面分别标有数字1,2,…,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4d9e4bc457a4590544ac8d41de46db31.png)
(1)现从甲箱中任意抽取2个小球,求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率;
(2)现从乙箱中任意抽取1个小球,设
=“所抽小球上面标注的数字”,记事件
=“
”,事件
=“
”,若事件
与事件
独立,求
的值;
(3)在(2)的条件下,现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱,充分摇匀,然后有放回地抽取3次,每次取1个小球,求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
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(1)现从甲箱中任意抽取2个小球,求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率;
(2)现从乙箱中任意抽取1个小球,设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8455657dde27aabe6adb7b188e031c11.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/22788ae9dc075eddcd0059966e4b7a64.png)
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(3)在(2)的条件下,现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱,充分摇匀,然后有放回地抽取3次,每次取1个小球,求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率.
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名校
解题方法
【推荐1】为了进一步激发同学们的学习热情,某班级建立了数学、英语两个学习兴趣小组,两组的人数如下表所示:
现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试.
(1)求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率;
(2)记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
组别 性别 | 数学 | 英语 |
男 | 5 | 1 |
女 | 3 | 3 |
现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试.
(1)求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率;
(2)记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量ξ的分布列和数学期望.
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】为了研究某种疾病的治愈率,某医院对100名患者中的一部分患者采用了A疗法,另一部分患者采用了B疗法,并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图,如下:
(1)求2×2列联表中的x,y,z的值,并判断是否有95%的把握认为此种疾病是否治愈与治疗方法有关;
(2)现从采用A疗法的患者中任取2名,设治愈的患者数为
,求
的分布列与期望.
附:
,
.
未治愈 | 治愈 | |
A疗法 | x | y |
B疗法 | z | 18 |
(2)现从采用A疗法的患者中任取2名,设治愈的患者数为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
附:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e54549dfa77244e436795e5c6bf4a53e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/356b05e46b10ee51c3e43546d73ec96c.png)
0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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适中
(0.65)
【推荐3】某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示45名同学的饮食指数,说明:下图中饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜,饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/14/d64b5106-b554-4a71-9f06-c354645f6141.png?resizew=166)
(1)根据茎叶图,完成下面
列联表,并判断是否有90%的把握认为喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关,说明理由;
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/14/beceec43-a44e-426a-80ad-dd2d16c74238.png?resizew=268)
(2)根据饮食指数在
,
,
进行分层抽样,从全班同学中抽取15名同学进一步调查,记抽取的喜食肉类的女同学为
,求
的分布列和数学期望
.
下面公式及临界值表仅供参考:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e7dc70b5e1ba847b9918a50f67bfbe8f.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/14/d64b5106-b554-4a71-9f06-c354645f6141.png?resizew=166)
(1)根据茎叶图,完成下面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b72fcdc709e77910cd36a26369648b3.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/14/beceec43-a44e-426a-80ad-dd2d16c74238.png?resizew=268)
(2)根据饮食指数在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d38135bfe507f03bff28e97cc7f01f8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/596062756ef21e49d84febbbe84084c8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b616fb3023722ef36c12362628db35cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b734e8f1546481e3eb4976008a045de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/33470bee4febd946d39f7b63d6344c8f.png)
下面公式及临界值表仅供参考:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e7dc70b5e1ba847b9918a50f67bfbe8f.png)
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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