【推荐1】已知x+x^-1=4，其中0<x<1，求的值.

【推荐2】计算：
(1)；
(2)．

【推荐3】计算
(1)
(2)

【推荐1】碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代．设生物体内的碳14的含量为，死亡年数为．
(1)试将表示为的函数；
(2)不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的20%，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：）

【推荐2】设是实数，函数的表达式为．
(1)当时，求满足的的取值范围；
(2)求函数的值域（用表示）．

【推荐3】已知函数，为自然对数的底数．
(1)写出的单调区间；
(2)若时，证明：．

【推荐1】设集合，若当时，函数的最大值为2，求实数a的值．

【推荐2】已知函数为奇函数.
（1）求实数的值；
（2）记集合，，判断与集合的关系；
（3）当时，若函数的值域为，求的值.

【推荐3】已知函数f（x）=ln（x²-ax+4）．
（1）若f（x）定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）当a=4时，解不等式f（e^x）≥x．

【推荐1】如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asin ωx（A>0，ω>0，x∈[0，4]）的图象，且图象的最高点为S（3，2）；赛道的后一部分为折线段MNP．求A，ω的值和M，P两点间的距离．

【推荐3】某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
(1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？