【推荐1】如图，已知在Rt△ABC中，，，，它的内接正方形DEFG的一边EF在斜边BA上，D、G分别在边BC、CA上，设△ABC的面积为，正方形DEFG的面积为.

（1）试用、分别表示和；
（2）设，求的最大值，并求出此时的.

【推荐2】已知向量，＝，函数.
（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）当x∈时，求函数f（x）的值域．

【推荐3】如图，已知点和点，，且，其中为坐标原点.

（1）若，设点为线段上的动点，求的最小值；
（2）若，向量，，求的最小值及对应的的值.

【推荐1】观察：下面三个式子的结构规律
①
②
③
你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

【推荐2】数学研究性学习是高中学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动．某同学就在一次数学研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．   

①；

②；   

③；     

④；

⑤．

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，归纳出一个三角恒等式；
（3）利用所学知识证明这个结论．