【推荐1】我国正在北京建设高能同步辐射光源（HEPS）。科学家们使用各种磁铁，以控制HEPS系统中质量为m、电荷量为e的电子按照预定轨道运动。其中“四极铁”能够控制电子束在运动过程中汇聚或发散。它所提供的磁场的磁感线如图1所示。一束电子沿垂直纸面向里的方向进入“四极铁”的空腔，仅考虑洛伦兹力的作用。
（1）图1中标记的a、c和b、d两对电子，哪一对电子进入磁场后会彼此靠近；
（2）以图1中磁场中心为坐标原点O建立坐标系，垂直纸面向里为x轴正方向，沿纸面向上为y轴正方向，在Oxy平面内的磁场如图2所示，该磁场区域的宽度为d。在范围内，有一束电子沿x轴正方向射入磁场，磁场的磁感应强度B = by（b为已知的正常数，以磁场方向垂直于Oxy平面向里为正）。电子速度的大小均为，在穿过磁场的过程中，每个电子的y坐标变化很小，认为每个电子途经的区域为匀强磁场。
a．求从y = y₀处射入磁场的电子，在磁场中运动的半径r₀及速度偏转角的正弦值sinθ；
b．研究发现，所有电子通过磁场后，都将经过轴上坐标x = f的点。由于d很小，可认为电子离开磁场时，速度方向的反向延长线通过坐标（0，y）点，且速度方向的偏转角很小，认为sinθ ≈ tanθ。求f的表达式，并根据表达式说明不同位置射入的电子必将经过这一点；
c．在处再放置一个磁场区域宽度为d的“四极铁”，使b问中的电子束通过后速度方向变成沿x轴正方向，该“四极铁”的磁感应强度B = b′y。求b′∶b。   

【推荐2】如图甲所示，在光滑水平桌面建立直角坐标系xOy。第四象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标系平面向内的匀强磁场。初始时刻桌面上有一光滑绝缘空心细管MN恰好与轴重合，M端位于坐标原点O。从初始时刻开始，细管与x轴保持垂直且以速度v₀沿+x方向做匀速直线运动。已知初始位置在N端与细管相对静止的小球P（带正电，比荷为k）离开细管时的速度方向与+x方向夹角为45°。
（1）若第一象限存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标系平面向外的匀强磁场，求小球P离开细管后圆周运动的半径及细管的长度；
（2）若第一象限仅存在-y方向的匀强电场，电场强度大小E=Bv₀，求小球P经过x轴时的坐标；
（3）若第一象限存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标系平面向外的匀强磁场，在第一象限内还有一平行于x轴且足够长的挡板AC，AC到x轴的距离为细管长的一半，如图乙所示。且初始时刻细管内均匀紧密排满了相对细管静止的、与P完全相同的绝缘小球。若不考虑带电小球间相互作用的静电力，求从细管中飞出后能撞击到AC的小球数目占全部小球数目的比例。

【推荐1】如图所示的质谱仪由离子室、加速电场、速度选择器和偏转磁场四部分组成。离子室内充有大量和，速度选择器中的电场场度为E，磁场的磁感应强度为。离子进入加速电场的初速度几乎为零，加速后从O点平行于极板进入速度选择器，在右端分成两束平行的粒子束，粒子束1沿中线、粒子束2沿下极板边缘进入右侧垂直纸面方向的有界磁场。粒子1恰好不能从右边界飞出，粒子2与粒子1的轨迹相交于右边界。不计粒子的重力、粒子间的相互作用、小孔O的孔径。设质子和中子的质量均为m，质子的电量为e。求：
（1）加速电场的电压U；
（2）速度选择器两板间距d；
（3）右侧有界磁场的磁感应强度B。