【推荐1】如图所示，质量M＝1kg、长L＝2 m 的长木板放在光滑地面上，质量m＝2kg 的小滑块（可视为质点）在长木板左端，竖直嵌有四分之三光滑圆弧轨道的底座固定在地面上，圆弧轨道最低点P的切线水平且与长木板上表面相平，长木板右端与底座左端相距x＝1.5 m。现用水平向右外力F＝12 N作用在小滑块上，使其由静止开始运动，小滑块到达P点后马上撤去外力F，小滑块沿着圆弧轨道运动。长木板与底座相碰时，立即粘在底座上。已知滑块与长木板间动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s²。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，求：
（1）在长木板与底座相碰前，长木板和小滑块加速度的大小；
（2）小滑块到达P点时速度的大小；
（3）若要使小滑块沿圆弧轨道上滑过程中不脱离轨道，竖直圆弧轨道的半径R应该满足什么条件？

   

【推荐2】如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为L。水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态。小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初速度冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道。已知R=0.2m，L=1.0m，，物块A质量为m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数为μ=0.2，轨道其他部分摩擦不计，取g=10m/s²求：
（1）物块A第一次到圆弧最高时对轨道的的压力和弹簧刚接触时的速度大小；
（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度；
（3）调节PQ段的长度L，A仍以从轨道右侧冲上轨道，当L满足什么条件时，A物块能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱。                                

【推荐3】如图所示，光滑倾斜轨道AB和水平轨道BC平滑连接（小球经过时速度大小不变），轨道AB距地面高h的A点有一个质量m＝1kg的小球无初速释放，小球从C点向右进入半径R＝1m的光滑圆形轨道，圆形轨道底部C处前后错开，小球可以从C点向右离开圆形轨道，在水平轨道上继续前进。已知小球与水平轨道间的动摩擦因数，水平轨道BC长L＝1m，不计其它阻力，重力加速度。
（1）若释放点A高度h＝3m，求小球到达B点的速度大小；
（2）要使小球完成圆周运动，则释放点A的高度h需要满足什么条件；
（3）若小球恰好不脱离轨道，求小球最后静止的位置到圆轨道最低点C的距离。

【推荐1】宇航员成功登上半径为R的某星球后，为初测星球质量，在该星球表面上固定一倾角为θ=30^o的斜面．使小物块以速度v₀从斜面底端沿斜面向上运动，得到其往返运动v-t图线如图．若图中t₀已知，且引力常量为G．求：

（1）物块回到斜面底端时的速度大小；
（2）该星球的质量．

【推荐2】宇航员在地球表面一斜坡上P点，沿水平方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡另一点Q上．现宇航员站在某质量分布均匀的星球表面相同的斜坡上P点，沿水平方向以相同的初速度抛出一个小球，小球落在PQ的中点．已知该星球的半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，球的体积公式是。求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的质量M；
（3）该星球的密度。

   

【推荐3】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a－x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，求：
（1）星球M和星球N的密度之比为多少；
（2）Q下落过程中的最大动能与P下落过程中的最大动能之比为多少？

【推荐1】某兴趣小组设计了一个“螺丝”形的竖直轨道模型，如图所示，将一质量为的小球（视为质点）放在O点，用弹簧装置将其从静止弹出，使其沿着半圆形竖直光滑轨道OMA和ANB运动，BC，CG是材料相同的水平面，其中BC段，CG足够长，是与C、点相切的竖直圆形光滑管道（管径很小，C、相互靠近且错开），已知弧OMA的半径，圆弧的半径和的半径，小球与BC。间的动摩擦因数均为，其余轨道均光滑，弹簧的最大弹性势能，小球运动时始终没有脱离轨道（g取）。求：
(1)小球通过A点的最小速度和对轨道N点的最小压力；
(2)要使小球最终停在BC段，求弹簧弹性势能的范围；
(3)以C点为坐标原点，CG为x轴，从C到G方向为正方向，求出弹簧弹性势能与小球停止位置坐标x的关系。

【推荐1】如图所示，匀强磁场垂直于纸面向外且范围足够大，磁感应强度大小为，水平面上固定一个关于Ox对称的足够长的轨道OABCD和OEFGH，轨道电阻不计，其中，间距为，，间距为，OE、OA与Ox轴的夹角均为，。一根粗细均匀的导体棒长度为，质量为，单位长度的电阻为。用沿着x轴正方向向右的拉力作用在导体棒的中点，使其从O点开始沿着Ox轴做匀速直线运动，速度大小为。3s末撤去拉力，同时断开OE和OA的连接，且在GH和CD上放一根质量为、长度为的导体棒，两根导体棒均与导轨接触良好，EF和GH都足够长，不计一切摩擦。求：
（1）导体棒在EOA轨道上运动时，电流的大小；
（2）导体棒在EOA轨道上运动过程中产生的焦耳热；
（3）撤去拉力后，长为L的导体棒和长为的导体棒的最终速度之比；
（4）撤去拉力后，两根导体棒产生的总焦耳热。
   

【推荐2】图1中过山车可抽象为图2所示模型：弧形轨道下端与半径为的竖直圆轨道平滑相接，点和点分别为圆轨道的最低点和最高点。质量为的小球（可视为质点）从弧形轨道上距点高的点静止释放，先后经过点和点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度。
（1）求小球通过点时的速度大小。
（2）求小球通过点时，小球对轨道作用力的大小和方向。
（3）求小球从点运动到点的过程中，其所受合力冲量的大小。
（4）若小球从点运动到点的过程中所用时间为，求轨道对小球的冲量大小和方向。

【推荐3】如图1所示是依附建筑物架设的磁力缓降高楼安全逃生装置，我们可以将下降过程进行如下建模：一根足够长的空心铜管竖直放置，使一枚直径略小于铜管内径，质量为M的圆柱形强磁铁从管内某处由静止开始下落，如图2所示，该强磁铁下落过程中，可以认为铜管中的感应电动势大小与强磁铁下落的速度成正比，且强磁铁周围铜管的有效电阻是恒定的，强磁铁机械能耗散的功率等于其受到的阻力大小与下落速度大小的乘积，已知重力加速度g，强磁铁在管内运动时，不与内壁摩擦，不计空气阻力。

（1）请在图3中定性画出该强磁铁下落过程中的图像；

（2）当强磁铁从静止开始下落t时间后达到最大速度，求此过程强磁铁的下落高度h；

（3）如果在图2强磁铁的上面粘一个质量为m的绝缘橡胶块，推导它们下落的最大速度。