【推荐1】如图，已知线段．

(1)按下面的步骤，利用直尺和圆规作出线段的垂直平分线：分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点；过点作直线交于点，则直线就是线段的垂直平分线（不写作法，但要保留作图痕迹，标上相应的字母）；
(2)根据（1）的作图方法证明直线垂直平分线段．

【推荐3】如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．
   
(1)如图1，三角形内角分别为，，，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．
(2)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条双腰分割线．
(3)如图3，已知中，，是三角形的双腰分割线，且．①求∠C的度数．②若，，求的长．

【推荐1】几何探究：
【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）

【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．

【推荐2】如图，正方形的边长为2，点为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点，以、为邻边作矩形，连接．
(1)如图1，求证：；
   
(2)如图2，当为的三等分点时（靠近点），求证：；
   
(3)设四边形的周长为，直接写出的取值范围是_________．
   

【推荐3】已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点B落在边上的点P处．

（1）如图1，已知折痕与边交于点O，连结，，，若，求边的长；
（2）如图2，若点P恰好是边的中点，求的度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连接，动点M在线段上（点M与点P、A不重合），动点N在线段的延长线上，且，连接交于点F，作于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由．若不变，求线段的长度．

【推荐1】如图所示，在正方形中，，分别为，的中点，和相交于点，连接，．

(1)如图，试猜想与的数量关系和位置关系，请说明理由；
(2)求证：；
(3)试猜想、与之间的数量关系，并证明你的猜想．

【推荐2】在正方形 中，点是射线 上一个动点．连接，，点，分别为,的中点，连接交于点．

（1）如图 1，当点在线段 的延长线上时，请判断的形状，并说明理由．
（2）如图 2，正方形 的边长为 4，点与点 关于直线 对称，且点在线段 上．连接，若点 恰好在直线上，求的长．

【推荐3】如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，且AD＝12，BC＝18．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，设运动时间为t秒（0＜t≤6）
（1）当t＝6时，cos∠BPC＝　 　；
（2）当△BPC的外接圆与AD相切时，求t的值；
（3）在点P运动过程中，cos∠BPC是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G, AC与BG的交点为M．求证：EM:DM=CG:AC；
(3)在(2)小题的条件下，当AB=4，AD=时，求四边形ABGF的面积．
   

【推荐2】如图1，点E为菱形ABCD内一点，EB＝ED，∠BED＝90°，点F在CD上，∠DBF＝∠BAD．
（1）求证：BF⊥CD；
（2）如图2，延长BF至G，使得BG＝AB，连接DG，取AB中点M，连接EM．
①若A，D，G三点在同一条直线上，求的值；
②求证：DG＝2EM．

【推荐3】如图将绕点逆时针旋转角度后，与构成位似图形，则称与互为“旋转位似图形”．

（1）知识理解：
①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形________（填：是或不是）“旋转位似图形”．
如图，与互为“旋转位似图形”
②若，，，则的度数为________；
③若，，，则的长度为________；
（2）知识运用：
如图，在四边形中，，于，．求证：与互为“旋转位似图形”．
（3）拓展提高：
如图，为等腰直角三角形，点为斜边的中点，点是上一点，是延长上一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”，若，，求和的长．