【推荐1】春临大地，学校决定给长12米，宽9米的一块长方形展示区进行种植改造现将其划分成如图两个区域：区域Ⅰ矩形ABCD部分和区域Ⅱ四周环形部分，其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种花卉种植，且EF平分BD，G，H分别为AB，CD中点．

（1）若区域Ⅰ的面积为Sm²，种植均价为180元/m²，区域Ⅱ的草坪均价为40元/m²，且两区域的总价为16500元，求S的值．
（2）若AB：BC＝4：5，区域Ⅱ左右两侧草坪环宽相等，均为上、下草坪环宽的2倍
①求AB，BC的长；
②若甲、丙单价和为360元/m²，乙、丙单价比为13：12，三种花卉单价均为20的整数倍．当矩形ABCD中花卉的种植总价为14520元时，求种植乙花卉的总价．

【推荐2】（1）若数轴上对应点A表示数a，点A向右平移5个单位后的对应点表示的数是 　　，A点向左平移2个单位后的对应点表示的数是 　　．（用字母a表示）
（2）假如在数轴上有两个点M，N，两点表示的数是，6，这二点同时出发，M以每秒2个单位向左平移，N以每秒4个单位向左平移，平移后，经过t秒后，M和N两点表示的数是 　　和 　　．（用字母t表示）
（3）在（2）条件下，当t为何值时，N点追上M点．

【推荐3】一个长方体水箱，从里面量长25厘米,宽20厘米,深30厘米,水箱里已经盛有深为a厘米的水．现在往水箱里放进一个棱长10厘米的正方体实心铁块（铁块底面紧贴水箱底部）．
（1）如果，则现在的水深为         cm．
（2）如果现在的水深恰好和铁块高度相等，那么a是多少？
（3）当时，现在的水深为多少厘米?（用含a的代数式表示，直接写出答案）

【推荐1】如图，在中，，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．

（1）如图，若，则=_________度；
（2）如图，若，则=_________度；
（3）如图，若，则=________度；
（4）由问，你能发现与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．

【推荐2】如图，已知A，B，C三点在同一条直线上，∠ACD＝∠BCE，AC＝CD，BC＝CE，AE，BD相交于F．
求证：
（1）AE=BD；
（2）∠ACD=∠BFE．

【推荐3】如图，在中，平分，点E在上，过点E作交于点F，的平分线交于点M，若，求的度数．

【推荐1】教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．

请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在中，直线分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线交于点．
（2）如图③，在中，，边AB的垂直平分线交AC于点D、边BC的垂直平分线交AC于点E．若，，则DE的长为___________．

【推荐2】如图，在中，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．

(1)请根据作图过程回答问题：直线是线段的 　 　；
A．角平分线     B．高     C．中线     D．垂直平分线
(2)若中，，，，求的长．

【推荐3】如图，在等腰三角形中，，边上的垂直平分线分别交，于点和点，若．

（1）求的度数；
（2）若，求的长度．

【推荐1】如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别在边AB和AC上，AE＝AD，DE＝DB，设∠B＝，∠CAE＝．
（1）当＝40°那么＝________°；
（2）求和之间的数量关系；
（3）求的取值范围．

【推荐2】在一次研究性学习活动中，李平同学看到了工人师傅在木板上画一个直角三角形，其步骤是（如图）：①画线段；②分别以点A，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③连接；④以点为圆心，以长为半径画弧，交延长线于点；⑤连接则就是直角三角形．

   

(1)请你说明其中的道理；
(2)将题中步骤②“分别以点A，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点”改为“分别以点A，为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点”，其余步骤不变，则的度数为______ ．

【推荐3】如图，在中，，点D是上一点，的垂直平分线交于点E，将沿折叠，点C恰好与点E重合，求的度数．