【推荐1】在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点；点在轴负半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点的横坐标为．
   
(1)求直线的函数表达式；
(2)连接，，若点在轴负半轴上，且的面积等于面积的一半，求出的值；
(3)请直接写出的最小值；
(4)以为斜边作等腰直角三角形，使点落在线段或线段上，请直接写出所有符合条件的的值

【推荐2】阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：．
   
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至，使，
∵是边上的中线∴
在和中
∴   ∴
在中，（依据一）
∴．
   
任务一：上述证明过程中的“依据一”是指：____________________；
归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
任务二：如图3，，，则的取值范围是_____________；
   
任务三：如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由．
   

【推荐3】【操作发现】

（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点按顺时针方向旋转90°，点的对应点为，点的对应点为；
②连接，此时______°；
【问题解决】
在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：
（2）如图2，在等边中，点在内部，且，，，求的长．
经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转60°，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，完成该问题的解答过程；
【学以致用】
（3）如图3，在等腰直角中，，为内一点，且，，，求；
【思维拓展】
（4）注意：从以下①②中，你任意选择一道题解答即可．
①等腰直角中，，为内部一点，若，则的最小值＝______
②如图4，若点是正方形外一点，，，，求的度数．

【推荐3】背景材料：
在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们知道这种模型称为手拉手模型．
例如：如图1，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE，∠BAC＝∠EAD＝90°，AB＝AC，AE＝AD，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中易得到△ABD≌△ACE．

学习小组继续探究：
（1）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，请作出一个手拉手图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并连接BE，CD，证明BE＝CD；
（2）小刚同学发现，不等腰的三角形也可得到手拉手模型，例如，在△ABC中AB＞AC，DE∥BC，将三角形ADE旋转一定的角度（如图3），连接CE和BD，证明△ABD∽△ACE．
学以致用：
（3）如图4，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝，CD＝5，AD＝12．请在图中构造小刚发现的手拉手模型求BD的长．

【推荐1】如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时，同时停止运动．
（1）OC＝　 　，BC＝　 　；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

【推荐2】在矩形中，，．分别以，边所在的直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)如图1，将沿对角线翻折，交于点P，求点P的坐标；
(2)如图2，已知H是上一点，且，于点，求四边形的面积；
(3)如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，点P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，过点B作BE∥PC交⊙O于点E，连接CE，CB．

（1）试判断△BCE的形状，并说明理由；
（2）过点C作CD⊥AB于点D交BE于点F，若cosP＝，CF＝5，求AB的长．

【推荐1】如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝，将△AMD绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到△ABE． 易证：，从而得．

【实践探究】
(1)如图②，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且，请你直接写出线段BE，EF，FD之间的数量关系___．
【拓展】
(2)如图③，正方形ABCD的边长为10，点P为边CD上一点，于E，Q为BP中点，连接CQ并延长交BD于点F，且，则PD的长为___．

【推荐2】如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），作点B关于直线AP的对称点E，连接AE，再连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF和CF．

(1)若∠BAP＝，则∠AED＝         （用含的式子直接填空）；
(2)求证：点F在正方形ABCD的外接圆上；
(3)求证：AF﹣CF＝BF．

【推荐3】如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AB＝BE，连接CE，作DM⊥AG于M．
   
（1）求证：DM＝AG；
（2）连DE，若△ADE的面积为25，求AE的长．