【推荐1】如图，在△ABC中，AB=AC，点A在直线l上，线段AB在直线l的左侧，△ABC与关于直线l对称，连接，线段（或的延长线）交直线l于点D（）．

(1)如图1，当∠BAC=40°，∠ABD=30°时，∠ADB=       °．当∠BAC=40°，∠ABD=35°时，∠ADB=       °．
(2)如图1，线段AC在直线l的左侧，设∠BAC=x°，求∠ADB的度数（用含x的代数式表示）．
(3)如图2，线段AC在直线l的右侧，∠BAC=90°，BD=2，连接，求的长．

【推荐3】在四边形中，O在其内部，满足，．

(1)如图1，当时，如果，直接写出的度数______；
(2)当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，，
①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴正半轴上．

（1）的平分线与的外角平分线交于点，求的度数；
（2）设点，的坐标分别为，，且满足，求的面积；
（3）在（2）的条件下，当是以为斜边的等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标．

【推荐2】西安市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教学楼的顶部（如图所示），小华想测量宣传牌的高AB，首先，他站在地面上的点D处，测得宣传牌底端B的仰角的度数，然后沿DM方向走到点F处，此时，测得宣传牌顶端A的仰角的度数，竟然发现，已知A，B，M三点共线，，，，，，，教学楼的高，试求宣传牌的高AB．

【推荐3】如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD，在BC边上取一点E，使得CD=CE，连接AE并延长交BD于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）连接CF，点C 关于BD的对称点是Q，连接FQ，用等式表示线段CF,CQ之间的数量关系，并加以证明．

【推荐1】从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．
（1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B＝30°，∠BAD＝∠C＝40°，求证：AD为△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；
①利用直尺和圆规，作出△ABC的“等角分割线”；
②若BC＝6，求出①中画出的“等角分割线”的长度．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，若△ABC存在“等角分割线”CD，求出所有符合要求的∠ACB的度数．

【推荐2】如图，正方形的边在坐标轴上，点B坐标为．将正方形绕点A顺时针旋转角度，得到正方形，交线段于点G，的延长线交线段于点P，连，

   

(1)求证：；
(2)求的度数；并判断线段之间的数量关系，说明理由；
(3)当时，求的值；
(4)在（3）的条件下，在x轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴与直线：，分别交于点A，点B和点C，点A的坐标为，点C的横坐标为1，已知点M是直线上的一个动点．
   
(1)求直线的解析式；
(2)连接，求的最小值；
(3)若点N为平面直角坐标系中任一点，是否存在以O，A，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；
（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求FG FC 的值．

【推荐3】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于点F,连接BF
   
（1）若AP： BP=1：2，则AE的长为        ．
（2）求证：四边形BFEP为菱形；
（3）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P，Q分别在边AB、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．