【推荐1】已知，如图，线段，点是线段上一动点，分别以、为边，在同侧作正方形和正方形．

(1)当时，        ；
(2)记，，，求的最小值；
(3)如图，连接，点为中点，连接，若，求的长；
(4)如图，连接，点为中点，连接，点，分别为正方形和正方形的中心，连接，交于点，设，，试确定与之间的函数关系式．

【推荐3】在边长为的正方形ABCD中，点N为BA延长线上一点，连接DN．

(1)如图1，以BC为边向内作正△BCM，连接MN，当C，M，N三点共线时，求：△ADN的面积；
(2)如图2，以BC为边向外作正△BCM，连接DM，CP平分∠BCD交DM于点P，连接PB，当∠AND＝60°时，连接NP．证明：；
(3)如图3，当∠AND＝45°，点P为正方形内一任意点，连接BP，CP，DP，NP，当BP+CP+DP取最小值时，直接写出的值．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴负半轴于点，交轴于点，以为边作矩形，点落在轴正半轴上．

(1)求矩形的面积；
(2)点在直线上，连接，点在直线上，．
①当点为中点时，求点坐标；
②当时，求线段的长．

【推荐3】【问题初探】
数学课上， 老师给出了一个几何图形，并给出如下条件：
如图1，在等腰中，，点D为外部一点，且交于点E．
在提出问题后，老师让同学们在图中找出一个条件，使得该条件能够代替的比值．
同学们在经过思考后，提出了如下观点：
A．小明：“若给出或的长度，可以求出的比值；”
B．小于：“若给出的三角函数值，可以求出的比值；”
C．小胖：“若给出的长度，可以求出的比值；”
D．小浅：“给出对应的三角函数值，可以求出的比值．”
（1）上面四位同学的表述中，正确的有：                    （填选项，答案可能不唯一）；
（2）请你从（1）的选项中选出一个条件探究的比值（若选择超过两个条件，则按照第一个解答计分）；
【类比分析】同学们经过探索发现，在平面几何中，边和角常常会存在一些联系，如果能建立起边角关系，就会大大简化题目的难度．老师提出，在人教版数学九年级下册的《锐角三角函数》一章中曾经提及过这种角度与边的函数关系．
【学以致用】请你利用上述得到的启发，完成下面的问题：
（3）如图2， 在等腰中，，点D在上，点E为的中点，连接．过C作交的延长线于点F，连接．以点E为圆心，为半径作弧交于点G，连接．过C作交延长线于点H．若，求的值（用含有θ的代数式表示）．

【推荐3】已知：在中，，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，使点落在边上的点处，为点的对应点，连接．

(1)如图，当点在线段上时，连接．
填空：的形状为_____；与的数量关系为____．
(2)如图，在（1）的基础上，当时，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图，连接，当时，直接写出的长．