【推荐1】如图，四边形中，，点E为延长线上一点，连接，交于H．的平分线交于G．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图1，若，H为的中点，，求的长；
（3）如图2，若
①，求的度数；
②_____（用含有n的式子表示）

【推荐2】已知：射线
   
（1）如图1，的角平分线交射线与点，若，求的度数．
（2）如图2，若点在射线上，平分交于点，平分交于点，，求的度数．
（3）如图3，若，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，的角平分线，其中点，，，，，都在射线上，直接写出的度数．

【推荐3】如图，ADBC，∠BAD的平分线交BC于点G．∠BCD＝90°．
（1）试说明：∠BAG＝∠BGA：
（2）如图2，∠BCD的平分线交AD于点E交射线GA于点F，
①写出∠AFC，∠BAG的数量关系，并说明理由．
②若∠ABG＝55°，则∠AFC＝　 　．
（3）如图3，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，则的值是　 　．

【推荐1】如图，在中，为边上的两个动点，．

(1)若（即重合），则          时，；
(2)若，，则与相似吗？为什么？
(3)当和满足怎样的数量关系时，？请说明理由．

【推荐2】如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）．

请尝试探究：
(1)请直接写出、与的数量关系为__________；
(2)若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：．
(3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________．

【推荐3】某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并证明．

【推荐2】【阅读理解】如图1，在平面直角坐标系中，直线l的函数关系式，、是直线l上任意两个不同的点，过点、分别作y轴、x轴的平行线交于点G，则线段，，于是有，即的值仅与k的值有关，不妨称为直线l：的“纵横比”．


【直接应用】（1）直线的“纵横比”为__________；直线的“纵横比”为________．
【拓展提升】（2）如图2，已知直线与直线互相垂直，请用“纵横比”原理以及相关的几何知识分析k与m的关系，并加以证明．（可用以下结论：如图，在中，，是斜边上的高，则有）
【综合应用】（3）如图3，已知，P是y轴上一动点，线段绕着点P按逆时针方向旋转至线段，设此时点B的运动轨迹为直线l，若另一条直线．且与有且只有一个公共点，试确定直线m的函数关系式．

【推荐1】已知抛物线.
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当抛物线与x轴两交点的距离是4时，求抛物线的顶点坐标；
(3)如果抛物线的图象与x轴仅有一个公共点A．过点（0，3）作直线l平行于x轴，在对称轴右侧的抛物线上任取一点P，过点P向直线l作垂线，垂足为E点，若在抛物线的对称轴上存在点D，使得△PDE是以D为直角顶点的等腰直角三角形．请求出点P的横坐标．

【推荐2】在中，，，为边上一点，连接．

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，将的边绕点在同一平面内顺时针旋转得到，为延长线上一点，连接．若，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到，连接，为的中点，连接，当的长度最小时，请直接写出的值．