如图，在
ABCD中，分别以AB，CD为底边在▱ABCD内侧作等腰△ABF和等腰△DCE，且∠AFB＝∠DEC＝120°，连接CF和AE并延长，分别交边AB，CD于点M和点N．
(1)求证：∠ADE＝∠CBF；
(2)求证：四边形AMCN为平行四边形；
(3)连接MN，若MN∥BC，AB＝
BC，ABCD的面积为3，求CF的长．
ABCD中，分别以AB，CD为底边在▱ABCD内侧作等腰△ABF和等腰△DCE，且∠AFB＝∠DEC＝120°，连接CF和AE并延长，分别交边AB，CD于点M和点N．(1)求证：∠ADE＝∠CBF；
(2)求证：四边形AMCN为平行四边形；
(3)连接MN，若MN∥BC，AB＝
BC，ABCD的面积为3，求CF的长．
21-22八年级下·四川成都·期末 查看更多[2]
更新时间：2022-07-27 20:32:59
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图1，
为矩形
的对角线，
的平分线交
于点E，交
的延长线于点F．点P是线段
上的动点，以
为对角线作正方形
（点B，M，P，N按顺时针方向排列）．
(1)求证：
；
(2)已知
，
．
①如图2，若点M落在
边上，求
的值；
②在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形的某边落在
的一边上？若存在，求
的长；若不存在，请说明理由．
为矩形的对角线，的平分线交于点E，交的延长线于点F．点P是线段上的动点，以为对角线作正方形（点B，M，P，N按顺时针方向排列）． (1)求证：
；(2)已知
，．①如图2，若点M落在
边上，求的值； ②在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形
的某边落在的一边上？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）
（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若
，求证：AD平分
.
（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若
，求证：AD平分.
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】如图所示，
是一个边长为4的等边三角形，D是直线上一点，以为边作
，使
，
，并以、
为边作平行四边形
．
(1)当点D在线段上时，交
于点G，求证：
；
(2)求线段的最小值： ．
(3)当直线与的一边垂直时，请直接写出
的面积．
是一个边长为4的等边三角形，D是直线上一点，以为边作，使，，并以、为边作平行四边形．(1)当点D在线段
上时，交于点G，求证：；(2)求线段
的最小值： ．(3)当直线
与的一边垂直时，请直接写出的面积．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】已知：是
的高，且
.
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，点E在AD上，连接
，将
沿折叠得到
，
与
相交于点
，若BE=BC，求
的大小；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，过点
作
，交的延长线于点
，若
，
，求线段
的长.
图1.
图2. 
图3. 
是的高，且.（1）如图1，求证：
；（2）如图2，点E在AD上，连接
，将沿折叠得到，与相交于点，若BE=BC，求的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接
，过点作，交的延长线于点，若，，求线段的长.图1.
图2. 图3.
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//
//
//
，且
时，求菱形的边长．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】在中，
，
．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点
处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、
于点D、E．
(1)如图①，当
时，则
的值是________．
(2)如图②，当
与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图③，在
内作
，使得
、
分别交
、
于点
、
，连接
．那么
的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E．(1)如图①，当
时，则的值是________．(2)如图②，当
与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在
内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】（1）问题提出：如图1，在
中，，
，
，则的长为______；
（2）问题探究：如图2，在矩形中，
，
，点P是矩形内部或边上一点，若以P、B、C为顶点的三角形是以
为底边的等腰三角形，求P、D两点之间的最短距离；
（3）问题解决：如图3，西安昆明池也称“七夕公园”，源于汉武帝元狩三年，为训练水师，在长安斗门镇一带，开凿了昆明池，池中刻置石琼，两岸刻制牛郎、织女，以象征天河．设计师规划一块等腰直角三角形
区域种植玫瑰花和四分之一圆区域种植郁金香，其中
，
米，以B为圆心以长为半径画弧交延长线于点D，点P是
上的一动点（不与点C、D重合），连接
，过点C作
交于点Q．为方便游人休息，设计师想在Q处建立一个亭子，从点D到点Q处修一条小路（亭子大小和路的宽度忽略不计），且满足点D到点Q的距离最小，这样的点Q是否存在，若存在，求
的最小值；若不存在，说明理由．
中，，，，则的长为______； （2）问题探究：如图2，在矩形
中，，，点P是矩形内部或边上一点，若以P、B、C为顶点的三角形是以为底边的等腰三角形，求P、D两点之间的最短距离； （3）问题解决：如图3，西安昆明池也称“七夕公园”，源于汉武帝元狩三年，为训练水师，在长安斗门镇一带，开凿了昆明池，池中刻置石琼，两岸刻制牛郎、织女，以象征天河．设计师规划一块等腰直角三角形
区域种植玫瑰花和四分之一圆区域种植郁金香，其中，米，以B为圆心以长为半径画弧交延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接，过点C作交于点Q．为方便游人休息，设计师想在Q处建立一个亭子，从点D到点Q处修一条小路（亭子大小和路的宽度忽略不计），且满足点D到点Q的距离最小，这样的点Q是否存在，若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
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，点D为
，连接
，求证：
；
时，连接AE，将线段
得到线段
，连接
；
，连接
，点H是
，当
解答题-证明题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】已知,在
中,
,
,
为射线上一点,连接交于点．
（1）如图1,若点与点重合,且
,求的长;
（2）如图2,当点在边上时,过点
作
于,延长
交于
,连接
．求证:
;
（3）如图3,当点在射线上运动时,过点作于,为
的中点,点在边上且
,已知
,请直接写出的最小值．
中,,,为射线上一点,连接交于点．（1）如图1,若点
与点重合,且,求的长;（2）如图2,当点
在边上时,过点作于,延长交于,连接．求证:;（3）如图3,当点
在射线上运动时,过点作于,为的中点,点在边上且,已知,请直接写出的最小值．
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
【推荐2】阅读下面材料：
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．如图1 所示，平行四边形ABCD即为△ABC的“友好平行四边形”．
请解决下列问题:
（1）仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好矩形”；
（2）若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”， 若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有 个；
（3）若△ABC是锐角三角形，且
，如图2，请画出△ABC的所有“友好矩形”；指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由.
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．如图1 所示，平行四边形ABCD即为△ABC的“友好平行四边形”．
请解决下列问题:
（1）仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好矩形”；
（2）若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”， 若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有 个；
（3）若△ABC是锐角三角形，且
，如图2，请画出△ABC的所有“友好矩形”；指出其中周长最小的“友好矩形”并说明理由.
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