我们知道，四边形有两组对边，两组对角，两条对角线．已经研究了，如果四边形满足下列条件之一：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．由此，进一步探究
(1)如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件．
(3)命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．
①小明认为这是假命题，尝试画出反例．如图②，他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法）
②小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围．
(1)如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．
(2)命题：如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等，那么这个四边形是平行四边形．如果这个命题是真命题，请证明；否则，请画出一个反例示意图，并标明所满足的条件．
(3)命题：如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．
①小明认为这是假命题，尝试画出反例．如图②，他先画出四边形ABCD的一条边AB，一条对角线BD．请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例．（保留作图痕迹，不写作法）
②小明进一步探索发现，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且OB＝OD，BD＝8，∠AOB＝60°，对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化，直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围．
21-22八年级下·江苏南京·期末 查看更多[4]
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更新时间：2022-08-19 12:08:40
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，平行四边形ABCD中，AE平分
交BC于E，DF平分
交BC于F．
(1)求证：
；
(2)若E为BC的三等分点（靠近C点），
，
，求直线AB与CD之间的距离．
交BC于E，DF平分交BC于F．(1)求证：
；(2)若E为BC的三等分点（靠近C点），
，，求直线AB与CD之间的距离．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】在平行四边形
中，点
在平行四边形内，连接
，
，
，
是等腰直角三角形，
，其中
．
(1)如图1，求
的度数；
(2)如图2，在
上取点
，使得
，求证：
；
(3)如图3，在2问的条件下，若
、、
在同一直线上，当
时，求平行四边形的面积．
中，点在平行四边形内，连接，，，是等腰直角三角形，，其中．(1)如图1，求
的度数； (2)如图2，在
上取点，使得，求证：； (3)如图3，在2问的条件下，若
、、在同一直线上，当时，求平行四边形的面积．
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是一条对角线，且
，
，E，F是
，连接
的延长线交于点G．
与
．
；
的长；
，H是
．若
，且
，求
的长．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图l，在
中，点
，
分别在边
和上，点，在对角线
上，且
，
.
（1）求证：四边形
是平行四边形：
（2）若
，
，
.
①当四边形是菱形时，
的长为______；
②当四边形是正方形时，
的长为______；
③当四边形是矩形且
时，的长为______.
中，点，分别在边和上，点，在对角线上，且，.（1）求证：四边形
是平行四边形：（2）若
，，.①当四边形
是菱形时，的长为______；②当四边形
是正方形时，的长为______；③当四边形
是矩形且时，的长为______.
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】在四边形ABCD中，AD
BC，AB=
，AD=2，DC=
，tan∠ABC=2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB．
(1)求线段BC的长；
(2)当FB=FE时，求线段BF的长；
(3)当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
BC，AB=，AD=2，DC=，tan∠ABC=2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB．(1)求线段BC的长；
(2)当FB=FE时，求线段BF的长；
(3)当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
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，求∠BAP的度数；
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】定义：在
中，若
，
，
，
，
，
满足
则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是________（填“真”或“假”）命题．
(2)如图1所示，若等腰三角形
是“类勾股三角形”，
，
，请求
的度数．
(3)如图2所示，在中，
，且
，求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在
上找一点使得
，再作
，请你帮助志明完成证明过程．
中，若，，，，，满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：(1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是________（填“真”或“假”）命题．
(2)如图1所示，若等腰三角形
是“类勾股三角形”，，，请求的度数．(3)如图2所示，在
中，，且，求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点使得，再作，请你帮助志明完成证明过程．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】已知二次函数
，关于x的方程
有下列四个命题：①
是方程的根 ②
是方程的根 ③该方程两根和为4 ④该方程两根同号，若其中只有1个命题为假命题，将
向左平移
个单位，向下平移
个单位得到函数
．
(1)求函数与的解析式；
(2)如题图所示，已知与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上位于直线BC下方一动点，当
时，求点P的坐标；
，关于x的方程有下列四个命题：①是方程的根 ②是方程的根 ③该方程两根和为4 ④该方程两根同号，若其中只有1个命题为假命题，将向左平移个单位，向下平移个单位得到函数．(1)求函数
与的解析式；(2)如题图所示，已知
与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上位于直线BC下方一动点，当时，求点P的坐标；
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐3】定义：对于任意实数
，
，如果满足
，那么称，互为“好友数”，点
为“好友点”．
(1)若
为“好友点”，则
______ ；
(2)判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”．
①
与
是互为“好友数”；( )
②若点为“好友点”，则点
也一定为“好友点”；( )
③若与互为相反数，则一定不是“好友点”； ( )
④存在与
互为“好友数”的实数；( )
(3)已知
是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于
，
的二元一次方程组
的解，请判断点是否能成为“好友点”？若能，请求出的值和点
的坐标；若不能，请说明理由．
，，如果满足，那么称，互为“好友数”，点为“好友点”．(1)若
为“好友点”，则 ______ ；(2)判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”．
①
与是互为“好友数”；( )②若点
为“好友点”，则点也一定为“好友点”；( )③若
与互为相反数，则一定不是“好友点”； ( )④存在与
互为“好友数”的实数；( )(3)已知
是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于，的二元一次方程组的解，请判断点是否能成为“好友点”？若能，请求出的值和点的坐标；若不能，请说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，∠CBD＝α，AB＝3，BC＝4，求sinα，cosα，tanα的值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】在平面直角坐标系
中，直线交x轴于点
，交y轴于点
．
（1）如图1，求直线的解析式：
（2）如图2，点E、C分别在
、
上，连接
，过点O作
交点D，且
，连接
，设点D的横坐标为t，
的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长
交x轴负半轴于点H，点N、G分别为
、上的点，连接
，过点N作直线
，交
于点M，分别过点F、N作的垂线，垂足分别为T、Q，
，
与交于点R，
，连接
、
，当
，
时，求直线
的解析式．
中，直线交x轴于点，交y轴于点．（1）如图1，求直线
的解析式：（2）如图2，点E、C分别在
、上，连接，过点O作交点D，且，连接，设点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，延长
交x轴负半轴于点H，点N、G分别为、上的点，连接，过点N作直线，交于点M，分别过点F、N作的垂线，垂足分别为T、Q，，与交于点R，，连接、，当，时，求直线的解析式．
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，点O在射线
．以点O为圆心，
为半径作
，交直线
只有两个交点时，r的取值范围是________．
时，将射线
．
的度数为多少；
，求阴影部分的面积．
