【推荐1】综合与探究
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x²+2x+3，抛物线W与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，它的顶点为D，直线l经过A、C两点．
（1）求点A、B、C、D的坐标．
（2）将直线l向下平移m个单位，对应的直线为l′．
①若直线l′与x轴的正半轴交于点E，与y轴的正半轴交于点F，△AEF的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②求m的值为多少时，S的值最大？最大值为多少？
（3）若将抛物线W也向下平移m单位，再向右平移1个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点P落在△AOC的内部（不包括△AOC的边界），请直接写出m的取值范围．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于两点，其中点坐标为．
（1）求点坐标；
（2）点为直线上方抛物线上一点连接，当时，求点的坐标；
（3）将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知抛物线与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)结合函数图象写出关于x的不等式的解集．
(3)已知点，，若该抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出的取值范围．

【推荐2】已知如图1，二次函数与轴交于点，两点，且点在点的右侧，与轴交于点，连结．

(1)求点、的坐标；
(2)如图，将点向下平移个单位得到，将向左平移个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求，的值；
(3)如图，点是轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过作，与抛物线另一个交点为，，为上两点，且轴，轴．
①当为直角三角形时，求点的坐标；
②是否存在点使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由．

【推荐3】某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，．

【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：__________，__________；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，求点坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线，过抛物线上点作轴垂线，交直线于点，，，当时，请直接写出点横坐标的取值范围．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的动点．

（1）求、、的值；
（2）连接、、，求面积的最大值；
（3）过作，垂足为，是否存在这样的点、，使得与相似，若存在，请写出所有符合条件的点坐标，并选其中一个写出证明过程；若不存在，请说明理由．

【推荐2】将抛物线：平移，使其顶点为，得到抛物线，抛物线交x轴的正半轴于A点，交y轴于C点．
       
(1)直接写出抛物线的表达式；
(2)如图1，抛物线的对称轴与直线相交于点B，G为直线上的点，过点G作交抛物线于点F，当以B，D，G，F为顶点的四边形为平行四边形时，求点G的横坐标；
(3)如图2，的顶点M，N在抛物线上，点M在点N右边，两条直线，与抛物线均有唯一公共点，，均与y轴不平行．若的面积为，设M，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方抛物上一动点，连接，，求面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为，为轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．
（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；
（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；
（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；
（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）如图1，若点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，作于点，点为直线上一动点，点为轴上一动点，连接，．当最长时，求的最小值；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转得，将沿直线平移得到，直线与轴交于点，连接，将 沿边翻折得 ，连接， ，当是等腰三角形时，求此时点的坐标．