在
中，
，
，点
为线段
的中点，动点
以2cm/s的速度从
点出发在射线
上运动．
(1)若
，求出发几秒后，
为等边三角形？
(2)若，求出发几秒后，为直角三角形？
(3)若
，点
与点同时出发，其中点以
（
且
）的速度从
点出发在线段
上运动，当a为何值时，
和
全等？
中，，，点为线段的中点，动点以2cm/s的速度从点出发在射线上运动．(1)若
，求出发几秒后，为等边三角形？(2)若
，求出发几秒后，为直角三角形？(3)若
，点与点同时出发，其中点以（且）的速度从点出发在线段上运动，当a为何值时，和全等？
更新时间：2022-12-04 17:21:22
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【推荐1】已知：如图数轴上两点A、B所对应的数分别为-3、1，点P在数轴上从点A出发以每秒钟2个单位长度的速度向右运动，点Q在数轴上从点B出发以每秒钟1个单位长度的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）若点P和点Q同时出发，求点P和点Q相遇时的位置所对应的数；
（2）若点P比点Q迟1秒钟出发，问点P出发几秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度；
（3）在（2）的条件下，当点P和点Q刚好相距1个单位长度时，数轴上是否存在一个点C，使其到点A、点P和点Q这三点的距离和最小，若存在，直接写出点C所对应的数，若不存在，试说明理由．
（1）若点P和点Q同时出发，求点P和点Q相遇时的位置所对应的数；
（2）若点P比点Q迟1秒钟出发，问点P出发几秒后，点P和点Q刚好相距1个单位长度；
（3）在（2）的条件下，当点P和点Q刚好相距1个单位长度时，数轴上是否存在一个点C，使其到点A、点P和点Q这三点的距离和最小，若存在，直接写出点C所对应的数，若不存在，试说明理由．
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(0.4)
名校
【推荐2】数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，点A在负半轴，且|a|=6，b是最小的正偶数．
（1）求线段AB的长；
（2）若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1=3x－9的解，在数轴上是否存在点P，使得PA＋PB＝
BC＋AB，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由．
（3）如图，若Q是B点右侧一点，QA的中点为M，N为QB的四等分点且靠近于Q点，当Q在B的右侧运动时，说明：QM﹣
BN的值不变，并求出其值．
（1）求线段AB的长；
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BC＋AB，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由．（3）如图，若Q是B点右侧一点，QA的中点为M，N为QB的四等分点且靠近于Q点，当Q在B的右侧运动时，说明：QM﹣
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(0.4)
【推荐3】已知数轴上两点A，B对应的数分别为
，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为
．
(1)若点P为线段的中点，则点P对应的数
；
(2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数的值；
(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动．当点E运动t秒时，点E恰好是点A，B的“2倍点”，求此时t的值．
，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为．(1)若点P为线段
的中点，则点P对应的数 ；(2)点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数
的值；(3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴负方向运动．当点E运动t秒时，点E恰好是点A，B的“2倍点”，求此时t的值．
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(0.4)
【推荐1】如图，
，，
绕着点C旋转．
，求证
平分
；
(2)如图2，在图1的位置上将绕着点逆时针旋转（旋转角小于
），延长
、交于点
，则
与
的数量关系为 ；
(3)如图3，在图1的位置上将绕着点顺时针旋转（旋转角小于
），连接
、
，若
，求
的度数．
，，绕着点C旋转．
，求证平分；(2)如图2，在图1的位置上将
绕着点逆时针旋转（旋转角小于），延长、交于点，则与的数量关系为 ；(3)如图3，在图1的位置上将
绕着点顺时针旋转（旋转角小于），连接、，若，求的度数．
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【推荐2】如图（1），CD、BE是△ABC的两条高，M为线段BC的中点．
（1）求证：MD＝ME．
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝42°，求∠DME的度数．
（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图（2），∠BAC＝α，请直接写出∠DME的度数．（用含α的式子表示）
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名校
【推荐1】已知：在中，∠ACB=90°，点E在边AC上，连接BE，点F在线段BC上，连接EF，点D在BC的延长线上，CD=CE，∠CAF=∠CBE．
(1)如图1，若点E是AC中点，点F是BD中点，且BF=4，DE=
，求的面积．
(2)如图1，若EF平分∠BEC交BC于F，求证：BE-AE=
DE．
(3)如图2，若∠CAF=15°，且EF⊥DE，直接写出
的值．
中，∠ACB=90°，点E在边AC上，连接BE，点F在线段BC上，连接EF，点D在BC的延长线上，CD=CE，∠CAF=∠CBE．(1)如图1，若点E是AC中点，点F是BD中点，且BF=4，DE=
，求的面积．(2)如图1，若EF平分∠BEC交BC于F，求证：BE-AE=
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(0.4)
名校
【推荐2】【问题情境】如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接
并延长到D，使
；连接并延长到E，使
，连接
并测量出它的长度，如果
米，那么间的距离为___________米．
【探索应用】如图2，在中，若
，求边上的中线
的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使
，再连接
（或将
绕着点D逆时针旋转
得到
），把
集中在
中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；
【拓展提升】如图3，在中，
的延长线交于点F，求证：
．
并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果米，那么间的距离为___________米．【探索应用】如图2，在
中，若，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长
到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是___________；【拓展提升】如图3，在
中，的延长线交于点F，求证：．
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(0.4)
解题方法
【推荐1】如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，若点D在边CB的延长线上，请直接写出CE，CF与CD之间的数量关系．
（1）如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，若点D在边CB的延长线上，请直接写出CE，CF与CD之间的数量关系．
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(0.4)
【推荐2】【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足
，
，
，试求
的大小.李明同学的思路是：将
绕点逆时针旋转60°，点的对应点为
，画出旋转后的图形，再连接
.将求分成求
和
的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小；
【问题解决】（2）如图2，在正方形
中，
，分别为，
边上的点，满足
，若
，
，求
的面积；
【问题拓展】（3）如图3，在四边形，
，
，
，求
的长.
为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小；【问题解决】（2）如图2，在正方形
中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积；【问题拓展】（3）如图3，在四边形
，，，，求的长.
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【推荐3】【问题背景】
数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题：
如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？
聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？
绕点A逆时针旋转
，得到
，连接，可知
为等边三角形，因此
，由两点之间，线段最短，可知
的最小值即为点B，P，，C共线时线段
的长．
中，
，点P为内一点，连接
，求的最小值．
，要求
．若
，请直接写出输水管道长度的最小值．
数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一个问题：
如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等，那么如何确定定居点的位置？
聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P，使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？
绕点A逆时针旋转，得到，连接，可知为等边三角形，因此，由两点之间，线段最短，可知的最小值即为点B，P，，C共线时线段的长．
中，，点P为内一点，连接，求的最小值．
，要求．若，请直接写出输水管道长度的最小值．
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