【推荐1】如图1，，点E在上，点G在上，点F在直线之间，连接垂直于，．
   
(1)求出的度数
(2)如图2，延长到H，点M在的上方，连接，Q为直线上一点，且在直线的右侧，连接，若，求的度数．
(3)如图3，S为上一点，T为上一点，作直线，延长交于点N，P为直线上一动点，请直接写出，和的数量关系___________________________________．（题中所有角都是大于小于的角）

【推荐2】如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．

(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；
(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．
①当NOEF，PMEF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PMEF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．

【推荐3】综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．过点作轴于点，交于点．

(1)求，两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)求线段的最大值．
(3)若是平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC下点D，DE⊥AB于点E
（1）求证：AE＝3EB；
（2）若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE+PF的最小值及此时BP的长；
（3）在（2）的条件下，连接EF，若AD＝，当PE+PF取最小值时，△PEF的面积是　 　．

【推荐3】数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子：
已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．

小星的思路是：
(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）；
(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）；理由如下：（请你将理由补充完整）
证明：过点E作，交于点F．
(3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长．

【推荐1】如图，是圆O的直径．菱形交于点C，E，连结，．

(1)求证：；
(2)若，，求和的长．

【推荐2】【给出问题】：已知：是正方形的外接圆，点P在上（除A、B外），试求的度数．
【分析问题】：善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：
（1）①尺规作图，在中作出内接正方形（保留痕迹，不写作法）．
②原题中     ．
【深入思考】：
（2）【问题】如图1，若四边形是的内接正方形，点P为弧上一动点，连接，请探究三者之间或者三者之间有何数量关系，并给予证明．
（3）【拓展】如图2，若六边形是的内接正六边形，点P为弧上一动点，请探究三者之间有何数量关系： （不写证明过程）．
（4）【应用】如图3，若四边形是矩形，点P为边上一点，，，，试求矩形的面积．
   

【推荐1】如图，为的直径，点A、E是上两点，，连接、、、，点B是延长线上一点，连接，．

(1)求证：与相切于点A；
(2)若，求．
(3)在（2）的条件下，若半径为6，求弦的长度．

【推荐2】发现问题：
（1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP＝45°．（不必写作法）

问题探究：
（2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，D是AB上一点，AD＝2，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由．
问题解决：
（3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝FA．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，∠BPQ＝135，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度．

【推荐3】已知：和矩形如图①摆放（点与点重合），点，在同一直线上，，，.如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为1，与交于点，与BD交于点K；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1.过点作，垂足为，交于点，连接，当点停止运动时，也停止运动.设运动事件为.解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）在运动过程中，
①当t为        秒时，以PQ为直径的圆与PE相切，
②当t为        秒时，以PQ的中点为圆心，以        cm为半径的圆与BD和BC同时相切.