【推荐3】在中，为锐角，点M为射线上一动点，连接，以点C为直角顶点，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，连接．

(1)如图1，图2，若为等腰直角三角形，
①问题初现：当点M为线段上不与点A重合的一个动点，求证：；
②深入探究：当点M在线段的延长线上时，判断线段之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图3，，若当点M为线段上不与点A重合的一个动点，交线段于点P，且，当有最大值时，求的长．

【推荐1】如图，已知在中，，，点、在边上（点在点右侧，点不与点重合）运动，，过点作，交的延长线于点．
   
(1)当时，求线段的长；
(2)设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
(3)连接，如果与相似，求的长．

【推荐3】已知正方形，为对角线上一点．                                                       
       【建立模型】
(1)如图1，连接，．求证：；
【模型应用】
(2)如图2，是延长线上一点，，交于点．求证：是等腰三角形；
【模型迁移】
(3)如图3，是延长线上一点，，交于点，，．求的值．

【推荐1】如图所示，在矩形中，把点沿对折，使点落在上的点．已知．

(1)求点的坐标；
(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过，且直线是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点是否在该抛物线上．
(3)在（2）的条件下，若点是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较与的大小(不必证明)，并写出此时点的横坐标的取值范围．

【推荐2】在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．
（1）第一小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B'处（如图2），这样能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少吗？请写出求解过程．

（2）第二小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图4．已知AH＝AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．

（3）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:
如图5，已知AA'＝BB'＝CC'＝2，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，
请利用图形变换探究S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'与的大小关系．

【推荐3】【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．
   
【初步认识】
（1）如图1，折痕的端点与点重合．
①当时，__________；
②若点恰好在线段上，则的长为__________；
【深入思考】
（2）若点恰好落在边上．
①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形；
②在①的条件下，当时，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长．