【推荐1】已知：如图，在中，，，以为直径的圆交于点，点是边上的一点(点不与、重合)，的延长线交圆于点，，且交于点．
   
(1)求证：．
(2)连接、，求证：．
(3)若，，求的长．

【推荐2】在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．

(1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是__________；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是__________．
(2)点在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接若正方形的边长为4，直接写出的周长最小值．

【推荐3】如图，正方形的边长为6．，分别是射线，上的点（不与点重合），且，为的中点．为线段上一点，，连结．

（1）求证：；
（2）当为直角三角形时，求的长；
（3）记边的中点为，连结，若，则的面积为________．（在横线上直接写出答案）

【推荐2】如图，正方形的边在坐标轴上，点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转角度一个锐角度数，得到正方形，交线段于点，的延长线交线段于点，连接．
      
(1)求证：；
(2)直接写出的度数，并直接写出之间的数量关系；
(3)连接得到四边形，在旋转过程中四边形能否为矩形？如果能，请求出点的坐标；如果不能，请说明理由．

【推荐3】问题提出：如图，在锐角中，如何作一个正方形，使落在边上，分别落在边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在两边上的正方形；
②连接，并延长交于点；③过点作于点；④过作，交于点；⑤过点作于点，则四边形即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角中，作出长与宽的比为的矩形，使位于边上，分别位于边上．

（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由．
（2）请你帮助创新小组同学在锐角中，作出所有满足长与宽的比为的矩形，使位于边上，分别位于边上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知的面积为36，，求出矩形的面积．

【推荐1】阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
图形旋转的应用．图形的旋转是全等变换（平移、轴对称、旋转）中重要的变换之一，利用图形旋转中的对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质，可以将一般图形转化成特殊图形，从而达到解决问题的目的．

如图，在中，，平分，且，．过点作互相垂直的两条直线，即，交于点，交于点，求四边形的面积．
分析：将以点为旋转中心顺时针旋转，使得旋转后的对应线段所在直线垂直于，并且交于点，旋转后的对应线段所在直线交于点．则容易证明四边形为正方形．因为，，，所以，
所以．
学习任务：
（1）四边形的面积等于______；
（2）如图，在中，：
①作出的外接圆；
②作的平分线，与交于点．
要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹
（3）在（2）的基础上，若，则四边形的面积等于______．

【推荐2】如图，在下列6×6网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（0，4）、B（4，4）、C（4，0），E（4，3）都是格点．要求在图中仅用无刻度的直尺作图在x轴上找点F，使AE平分∠BEF

操作如下：
第一步找格点M，连接AM，使AM⊥AE，写出点M的坐标为　      　；
第二步：找格点G，连接EG，使AG平分∠MAE，写出点G的坐标为　 　　 ；
第三步：AG交x轴于F，连EF，则AE平分∠BEF．请你按步骤完成作图，并说明理由．
（其中第一步、第二步画图的结论可作为第三步说理的条件）

【推荐1】在Rr△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，点O为AB的中点，点D、E分别为AC、AB边上的动点，且保持DO⊥EO，连接CO、DE交于点P．
（1）求证：OD＝OE；
（2）在运动的过程中，DP•EP是否存在最大值？若存在，请求出DP•EP的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）若CD＝2CE，求DP的长度．

【推荐2】综合与实践．
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：．

【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．

【推荐3】实践与探究
情境：在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且，过点F作EF⊥AC，交CD于点E，连接AE，AF．

(1)问题发现
图（1）中，线段AE与BF的数量关系是______；
直线AE与直线BF的夹角的度数是______．
(2)问题拓展
当△CEF绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，说明理由．
(3)问题延伸
在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，直接写出AE的长．