【推荐1】某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
活动情境：

如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．
所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：△AEF的边AE=______cm，EF=______cm；
乙：△FDM的周长为16cm；
丙：EG=BF.
你的任务：
（1）填充甲同学所得结果中的数据；
（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；
（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接，D是直线下方抛物线上一动点，连接，分别交和对称轴于点E、F．其中a，b是方程组的解．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求的最大值；
(3)连接，，是否存在点D，使得为直角三角形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐3】新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“美妙线”．
   
(1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“美妙线”，若，则______°；
(2)如图2，四边形中，，，，试说明四边形是“等腰四边形”；
(3)若在“等腰四边形”中，，且为“美妙线”，请直接写出的度数______

【推荐1】若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”，如图1，四边形中，若，，则称四边形为“奇妙四边形”，根据以上信息回答：

(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是“奇妙四边形”的图形名称________；
(2)如图2，已知四边形是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在上，若的半径为6，，求的长；
(3)如图3，已知四边形是“奇妙四边形”，且A，B，C，D在上，作于M，请猜测与的数量关系，并证明你的结论．

【推荐2】如图，为的直径，、为上的两点，，弦与、分别交于、．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径．

【推荐3】已知，在半圆中，直径，点、在半圆上运动，（点、可以与A、两点重合），弦．
   
(1)如图1，当时，求证；
(2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；
(3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：
①点M到的距离的最大值是______；
②直接写出点M的运动路径长______．

【推荐1】如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦．过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．

（1）判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：
（2）若AB=9，BC=6，求PC的长．

【推荐2】如图，已知在中弦、都不是直径它们的夹角，过作的垂线交于，直线，交于点，直线，交于点．

(1)求证：；
(2)若，，用含的式子表示的半径．

【推荐2】如图1，抛物线（为常数，）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段上的一个动点，连接并延长与过O，A，B三点的相交于点C，过点C作的切线交x轴于点E．

(1)①求点的坐标；
②求证：；
(2)如图2，连接，，，，当，时，
①求证：；
②求的值．