【推荐1】如图，在菱形中，交的延长线于点，连接交于点，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若菱形的边长为2，，求的长．

【推荐2】已知是等边三角形，D是射线上一个动点，延长至E，使．连接，．

(1)如图，若D是的中点，求证；
(2)若D是边上一点（不与中点重合），则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若D是边延长线上一点，，，请直接写出的长．

【推荐1】在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第一象限，，．
   
(1)如图1，求证：是等边三角形；
(2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交轴于点，求证：；
(3)如图2，若，，点为的中点，连接、交于，请问、与之间有何数量关系，并证明你的结论．

【推荐2】如图（1），CD、BE是△ABC的两条高，M为线段BC的中点．
（1）求证：MD＝ME．
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝42°，求∠DME的度数．
（3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图（2），∠BAC＝α，请直接写出∠DME的度数．（用含α的式子表示）

【推荐1】如图，在中，，，点D为的中点，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，且交线段于点G，的平分线交于点H．

(1)如图1，若，则线段与的数量关系是______，______；
(2)如图2，在（1）的条件下，过点C作交于点F，连接，．
①试判断四边形的形状，并说明理由；②______；
(3)如图3，若，，过点C作交于点F，连接，，请直接写出的值（用含m的式子表示）．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点和点，与轴交于点．

(1)写出这个二次函数的表达式         ；
(2)如图，点为直线上方抛物线上的一点，与交于点，当时，求点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，的取值范围是           ．

【推荐3】
是菱形边上一点，是等腰三角形，，（），，交边于点，，连接．
   
(1)如图，当时，
①求的度数；
②若，，请直接写出的长；
(2)如图，当时，若，，求的面积．

【推荐1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为，把绕原点O顺时针旋转，得到，记旋转角为α．

（1）如图1，当时，求点的坐标．
（2）设直线与直线相交于点M，如图2，当时，求点M的坐标．

【推荐2】定义：如图1所示，给定线段MN及其垂直平分线上一点P．若以点P为圆心，PM为半径的优弧（或半圆弧）MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点P为线段MN的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点P为线段MN的“强三足点”．

问题：如图2所示，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在射线y=x（x≥0）上．
(1)在点C（，0），D（，1），E（，-2）中，可以成为线段OA的“三足点”的是__________；
(2)若第一象限内存在一点Q既是线段OA的“三足点”，又是线段OB的“强三足点”，求点B的坐标；
(3)在（2）的条件下，以点A为圆心，AB为半径作圆，假设该圆与x轴交点中右侧一个为H，圆上一动点K从H出发，绕A顺时针旋转180°后停止，设点K出发后转过的角度为（0°<≤180°），若线段OB与AK不存在公共“三足点”，请直接写出的取值范围是_______________．

【推荐3】已知在平面直角坐标系中，的两个顶点、分别在轴和轴的正半轴上，且，.将绕点顺时针方向旋转得.

（Ⅰ）如图1所示，若旋转过程中，点的对应点（点）恰好落在斜边上时，求点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接.点、同时从点出发，在边上运动，点以每秒个单位的速度沿路径匀速运动，点以每秒1个单位的速度沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.
①设运动过程中点的坐标为，写出与的关系式，并写出自变量的取值范围；
②设运动的时间为秒，设的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？