【推荐1】已知：如图，在中，平分交于点．

(1)求作：直线，使垂直平分，交于点，交于点，垂足为点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；如完成有困难，可画出草图后解答（2）题）
(2)在（1）得到的图中，连接、．求证：．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.

【推荐3】已知平行四边形，对角线与相交于点O，点P在边上，过点P分别作，垂足分别为E、F，．

(1)如图，若，求的长；
(2)若点P是的中点，点F是的中点．求证：平行四边形是正方形．

【推荐1】如图，已知直线与相离，于点，与相交于点，与相切于点的延长线交直线于点．

(1)请证明：；
(2)若，求的半径和线段的长；
(3)若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出的半径的取值范围．

【推荐2】如图，为的直径，弦交于点，且为中点．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径．

【推荐3】【知识探究】探究得到定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【定理证明】请你利用矩形的性质，证明该定理.
已知：如图1，在中，，是的中点；

（1）求证：.
（2）【灵活运用】如图2，四边形ABCD中，，，E，F分别是，的中点，连接，，，求证：．

【推荐1】已知：．

求作：的平分线．
作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；
②分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
③画射线．
射线即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，．
由作法可知．
∴四边形是菱形．（__________________________）（填推理的依据）．
∴平分．（__________________________）（填推理的依据）．

【推荐2】如图，在四边形中，对角线和交于点O，且，，过点C作于点E，过点A作于点F，且．
   
(1)求证：四边形为菱形．
(2)若，，求的长．

【推荐3】如图在矩形纸片中，，，在上取一点F，，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．求证：四边形是菱形．