【推荐1】如图1，若二次函数的图像与轴交于点（-1，0）、，与轴交于点（0，4），连接、，且抛物线的对称轴为直线．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点是抛物线在一象限内上方一动点，且点在对称轴的右侧，连接、，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，若点是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点坐标．

【推荐2】如图1，在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．

(1)求线段的长度；
(2)连接，求的度数；
(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

【推荐1】如图，在等边中，，，如果点M以6cm/s的速度运动．
   
(1)如果点M在线段上由点C向点B运动，点N在线段上由B点向A点运动．它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．经过2s后，和是否个等？请说明理由；
(2)在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
(3)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿三边运动，经过25s点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少cm/s．

【推荐3】定义：如图1，在．中，把绕点A按逆时针方向旋转并延长一倍得到，把绕点A按顺时针方向旋转，并延长一倍得到，连结．当时，称为的“倍旋三角形”，的边上的中线叫做的“倍旋中线”．

①                                        ②                                             ③

(1)如图①，当，时，“倍旋中线”的长为______；
(2)如图②，当为等边三角形时，“倍旋三角形”与的数量关系为______．
(3)在图③中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．

【推荐1】如图，等边△ABC中，过顶点A在AB边的右侧作射线AP，∠BAP=α（0°<α<180°）．点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，且BE交射线AP于点D，过C，E两点作直线交射线AP于点F．

(1)当α=40°时，求∠AEC的度数；
(2)在α变化过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围；如果不变化，求∠AFE的大小；
(3)探究线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．

【推荐2】如图，顶点为的抛物线过点，在轴的正半轴上有一点，且．

(1)求直线的解析式和抛物线的解析式；
(2)将直线绕点按逆时针方向旋转后所得到的直线与抛物线相交于另一点，求证：；
(3)在（2）的条件下，若点是线段上的动点，点是线段上的动点，问：在点移动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B．

(1)若，，
①求点P的坐标；
②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标；
(2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标．

【推荐1】如图，在平面直角标系中，抛物线C：y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为y轴正半轴上一点．且满足OD＝OC，连接BD，
（1）如图1，点P为抛物线上位于x轴下方一点，连接PB，PD，当S_△PBD最大时，连接AP，以PB为边向上作正△BPQ，连接AQ，点M与点N为直线AQ上的两点，MN＝2且点N位于M点下方，连接DN，求DN+MN+AM的最小值
（2）如图2，在第（1）问的条件下，点C关于x轴的对称点为E，将△BOE绕着点A逆时针旋转60°得到△B′O′E′，将抛物线y＝沿着射线PA方向平移，使得平移后的抛物线C′经过点E，此时抛物线C′与x轴的右交点记为点F，连接E′F，B′F，R为线段E’F上的一点，连接B′R，将△B′E′R沿着B′R翻折后与△B′E′F重合部分记为△B′RT，在平面内找一个点S，使得以B′、R、T、S为顶点的四边形为矩形，求点S的坐标．

【推荐2】已知在平面直角坐标系中，的两个顶点、分别在轴和轴的正半轴上，且，.将绕点顺时针方向旋转得.

（Ⅰ）如图1所示，若旋转过程中，点的对应点（点）恰好落在斜边上时，求点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接.点、同时从点出发，在边上运动，点以每秒个单位的速度沿路径匀速运动，点以每秒1个单位的速度沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.
①设运动过程中点的坐标为，写出与的关系式，并写出自变量的取值范围；
②设运动的时间为秒，设的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？

【推荐3】把两个直角三角形如图(1)放置,使∠ACB与∠DCE重合,AB与DE相交于点O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE=5cm, CD=10cm．
(1)图1中线段AO的长=          cm；DO=         cm
(2)如图2,把△DCE绕着点C逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）得△D₁CE₁,D₁C与AB相交于点F,若△BCE₁恰好是以BC为底边的等腰三角形,求线段AF的长．