【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，且，C是的中点．动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线方向运动；当点P到达点O时，点Q也停止运动．

（1）当P为中点时，的外角的平分线与的延长线交于点E．
①求证：；
②若，则________；
（2）若时，连结，以，为邻边构造，设点P运动的时间为t秒，当点D恰好落在的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．

【推荐2】在 中，，点 在 边上（不与点 合），分别过 作 的垂线交于点连接 ．过作交于点 ．
      
(1)依题补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段间的关系，并证明．

【推荐1】如图，正方形ABCD中，E为边AB上一点，F是BC延长线上一点，且AE=CF，连结EF交AC于点G，交CD于点H．
（1）求证：∠EDF＝90°；
（2）求证：EG＝GF；
（3）若AG•DH＝3，求EF的长．

【推荐3】如图1，正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD边上，点M是AE与BF的交点，且AE＝BF；

（1）求证：BE＝CF；
（2）如图2，以CF为边，作正方形CFGH，H在BC的延长线上，连接DH，判断BF与DH的数量关系和位置关系并证明；
（3）如图3，连接AG，交DH于P点，求∠APD的度数．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于、两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为S，点M运动时间为t秒，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使为直角三角形﹖若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，抛物线y＝ax²＋5ax＋c（a＜0）与x轴负半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，过D作DH⊥x轴于点H，延长DH交AC于点E，且S_△ABD：S_△ACB＝9：16，

（1）求A、B两点的坐标；
（2）若△DBH与△BEH相似，试求抛物线的解析式．

【推荐3】聪明好学的晨晨看到一课外书上有个重要补充：
角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，于是他就和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D， 求证： ．
可是他们依然找不到证明的方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是得到，从而打开思路．
【问题初探】（1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明；

【现学现用】 利用角平分线定理解决如下问题：
（2）已知，中，是角平分线，， 则的长为        ；
（3）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度．

【问题解决】
（4）如图③，已知反比例函数 ，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？ 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．