【推荐2】已知，点是平面内一点，过点作射线、，与相交于点，与相交于点．

(1)如图1，若点为直线、之间区域的一点，，，求的度数；
(2)如图2，若点为直线、之间区域的一点，和的角平分线交于点．请说明：；
(3)如图3，若点、是直线上的点，连接，直线交的角平分线于点，射线交于点，设．当时，求（用含的代数式表示）．

【推荐3】数学课上，张老师出示了问题：如图1，、是四边形的对角线，若，则线段，，三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长到，使，连接，证得，从而容易证明是等边三角形，故，所以.

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将绕着点逆时针旋转，使与重合，从而容易证明是等比三角形，故，所以.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1)小颖提出：如图4，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明.

(2)小华提出：如图5，如果把“”改为“”，其它条件不变，那么线段，，三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明.

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点，，且，逵接，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作手点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系．
   
(1)直接写出点A的坐标为___________，点B的坐标为___________．
(2)如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时．
①求证：；
②试猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示．

【推荐2】如图，等边三角形的边长为m，D为直线上的任意一点，，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，．

(1)如图1，当D为线段的中点时，______，______．
(2)当点D为线段上除中点外的任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由．
(3)当以A，D，为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出的值．

【推荐3】综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形中，点在一条直线上，连接（如图1）

操作发现
（1）图1中线段和的数量关系是 　        　，位置关系是 　        　．
（2）在图1的基础上，将正方形绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形和正方形都变为矩形，且，＝，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值

【推荐1】如图①，中，，，为斜边的中点绕点顺时针旋转，分别交、于点、，已知．
（1）求证：；
（2）试问：当绕点作顺时针旋转过程中，与是否相似？若相似，请给出证明．若不相似，请说明理由；
（3）如图②，当绕点旋转至某一时刻，使得，求此时线段的长．       

【推荐2】数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；
   
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．
   

【推荐3】在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接．

(1)如图1，当点在边上时，
①若时，则____________°；
②若时，则____________°；
③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由．
(2)当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由．

【推荐1】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）连接EF，若运动时间t=　 　时，EF⊥AC；
（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm²时，求t的值；
（3）若△EQP∽△ADC，求t的值．

【推荐2】如图，在直角坐标系中，的圆心在轴上，与轴交于点、，与轴交于点、，过点作的切线交轴于点，若点的坐标为，点的坐标为．
（1）求证：；
（2）求点的坐标；
（3）若点为上任意一点，连接、，问的比值是否发生变化?若不变求出此值；若变化，说明变化规律．

【推荐3】如图，中，，点是的内心，点在边上，以点为圆心，长为半径的圆恰好经过点，连接，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求值．