综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知
中
，
．将从图1的位置开始绕点
逆时针旋转，得到
（点
，
分别是点
，
的对应点），旋转角为
（
），设线段
与
相交于点
，线段
分别交，
于点
，
．
特例分析：（1）如图2，当旋转到
时，求旋转角的度数为；
探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段
始终等于线段
，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当
是等腰三角形时旋转角的度数．
②在图3中，作直线
，
交于点
，直接写出当
是直角三角形时旋转角的度数．
中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为（），设线段与相交于点，线段分别交，于点，．特例分析：（1）如图2，当旋转到
时，求旋转角的度数为；探究规律：（2）如图3，在
绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．拓展延伸：（3）①直接写出当
是等腰三角形时旋转角的度数．②在图3中，作直线
，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 
更新时间：2024-02-26 14:01:50
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【推荐1】如图，是菱形
的对角线．上求作一点E，使得
（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（
）的条件下，若
，求
的度数．
是菱形的对角线．
上求作一点E，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（
）的条件下，若，求的度数．
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【推荐2】阅读素材并解决问题．
设而不求 | |
材料 | “设而不求”法又叫“增设辅助未知量法”或“设参法”，基本思路是先设定一个辅助未知量（辅助元），然后根据辅助元与未知量之间的关系，建立一个包含辅助元、未知量和已知量的方程或代数式，最后通过消元法或代换法来解决问题． |
问题1 | 有麻料、棉料、毛料三种布料，若购买3匹麻料、7匹棉料、1匹毛料共需315元；若购买4匹麻料、10匹棉料、1匹毛料共需420元．现需购买麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？ 解：依题意，可设每匹麻料、棉料、毛料的价格各为x元、y元、z元． 列出方程组：  通过①×3－②×2，直接可得  ． |
问题2 | 如图，已知 中， ， ， 为线段上的两点，且 ，平分，设 ，用表示其它有关的角，可求 的度数，请写出求解过程．
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问题3 | 如图，已知点是第一象限位于双曲线 上方的一点，过点作 轴于点， 交双曲线于点；再过点作 轴于点， 交双曲线于点，设 ，求证： ．
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，动点
上，连接
，说明
的理由；
时，
是什么三角形？为什么？
，若
，求
的度数．
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真题
【推荐1】如图，在矩形ABCD中，AB═2，AD=
，P是BC边上的一点，且BP=2CP．
(1)用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图②，在（1）的条件下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）
，P是BC边上的一点，且BP=2CP．(1)用尺规在图①中作出CD边上的中点E，连接AE、BE（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图②，在（1）的条件下，判断EB是否平分∠AEC，并说明理由；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接EP并延长交AB的延长线于点F，连接AP，不添加辅助线，△PFB能否由都经过P点的两次变换与△PAE组成一个等腰三角形？如果能，说明理由，并写出两种方法（指出对称轴、旋转中心、旋转方向和平移距离）
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【推荐2】如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．
（1）求证：△ABD≌△GCA；
（2）请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．
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解题方法
【推荐3】综合与实践
将矩形和
按如图1的方式放置，已知点在
上（
），
，连接
，．
特例研究
（1）如图1，当
，
时，线段与之间的数量关系是_______；直线与直线之间的位置关系是_______；
（2）在（1）条件下中，将矩形绕点旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
探究发现
（3）如图3，当
，
时，试判断线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由；
知识应用
（4）如图4，在（3）的条件下，连接
，
，若
，请直接写出
的值．
将矩形
和按如图1的方式放置，已知点在上（），，连接，．特例研究
（1）如图1，当
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绕点旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；探究发现
（3）如图3，当
，时，试判断线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由；知识应用
（4）如图4，在（3）的条件下，连接
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【推荐1】如图，点是等边内一点，
，
．以
为一边作等边三角形
，连接
(1)
求证：
；
当
时，试判断
的形状，并说明理由；
(2)探究：当
为多少度时，是等腰三角形？
是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接(1)
求证：；当时，试判断的形状，并说明理由；(2)探究：当
为多少度时，是等腰三角形？
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【推荐2】如图，在中，，M为中点，N为
边上一点，且
，连接，过点C作的垂线交的延长线于D．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
中，，M为中点，N为边上一点，且，连接，过点C作的垂线交的延长线于D． (1)求证：
；(2)求证：
．
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海里，某一时刻在点
的方向上，同时测得灯塔
方向上，在点
，
，
）．
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【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，点
，点
．平移
至
（点O与点C对应，点A与点B对应），连接
．
(1)点B的坐标为______；
(2)点D，E分别是
边上的动点，连接
，M，N分别为的中点，连接
．当D，E分别在边上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，将线段
绕点C逆时针旋转
至，连接
．P为线段上一点，以
为直角边作等腰直角三角形
，其中
．试猜想
，
，
三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
，点．平移至（点O与点C对应，点A与点B对应），连接．(1)点B的坐标为______；
(2)点D，E分别是
边上的动点，连接，M，N分别为的中点，连接．当D，E分别在边上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，将线段
绕点C逆时针旋转至，连接．P为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中．试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
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【推荐2】如图，将绕点顺时针旋转得到
，并使点的对应点落在直线上．
(1)如图①，证明：
平分
；
(2)如图②，
与交于点
，若
，
，求
的度数；
(3)如图③，连接，若
，
，
，求的长．
绕点顺时针旋转得到，并使点的对应点落在直线上．(1)如图①，证明：
平分；(2)如图②，
与交于点，若，，求的度数；(3)如图③，连接
，若，，，求的长．
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