【推荐1】将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．将正方形绕点逆时针旋转一周，直线与直线交于点．

(1)直接写出与的关系；
(2)如图2，当点在线段上时，求的面积；
(3)连接，当时，求的值．

【推荐3】在等腰直角△ABC中，AB＝AC，点D在底边BC上，∠EDF的两边分别交AB、AC所在直线于E、F两点，∠EDF＝2∠ABC，BD＝nCD．
（1）如图1，若n＝1，则DE　 　DF；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）连接EF．
①如图2，沿着直线EF折叠，使得点A落在边BC上的D点，求的值（含n的式子表示）；
②如图3，EFBC，且，求出n的值．

【推荐1】数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1．已知矩形纸片，其中， （a为常数）．

(1)操作判断
将矩形纸片按图1折叠，使点B落在边上的点E处，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)探究发现
将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点M，将沿折叠得到，延长交于点N，求的周长（用含a的代数式表示）．
(3)拓展应用
改变图2中点M的位置，令点M为射线上一动点，按照（2）中方式将沿折叠得到，所在直线交于点N，若点N为的三等分点，请直接写出此时的长（用含a的代数式表示）．

【推荐2】矩形的对角线交于点，．
（1）如图1，，，点在边上，点在边上，求证：；

（2）如图2，，，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，求的值；

（3）如图3，，，，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，直接写出线段的长度．

【推荐3】【问题背景】
如图，正方形的边长为8，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，连接．
【初步探究】
（1）求证：；
（2）若点 P在边上运动，且，求与的相似比；
【拓展提升】
（3）当点P在射线上运动时，设，是否存在实数x，使得以点P、F、E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

   

【推荐1】问题提出
（1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．求证：；
问题探究
（2）如图2，在矩形中，，E，F分别是边和对角线的点，，，求的长；
拓展延伸
（3）如图3，在菱形中，交的延长线于点G．E，F分别是线段和上的点，，，求的长．

【推荐2】综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形中，点在一条直线上，连接（如图1）

操作发现
（1）图1中线段和的数量关系是 　        　，位置关系是 　        　．
（2）在图1的基础上，将正方形绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形和正方形都变为矩形，且，＝，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值

【推荐3】如图①，在正方形中，点E，F分别在边、上，于点O，点G，H分别在边、上，．

   

(1)问题解决：①写出与的数量关系：________；
② 的值为 ________；
(2)类比探究，如图②，在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点C落在边上的点E处，得到四边形交于点P，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用，如图③，四边形中，，，，，点E、F分别在边、上，求 的值．

【推荐1】如图，已知AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D．
（1）证明：直线PB是⊙O的切线；
（2）若BD=2PA，OA=3，PA=4，求BC的长．

【推荐2】如图1，在矩形中，，，点E在边上，且．点F是边上的动点．将沿EF折叠得到．直线与直线的交点为H．

(1)如图2，点F与点C重合时，直接写出与的面积比；
(2)如图3，当H在点A的上方，且满足是等腰三角形时，直接写出线段的长；
(3)在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，直接写出的长；若不存在，请说明理由．

【推荐3】阅读下面材料，完成（1）-（3）题．
数学课上，老师出示了这样一道题：
如图，在中，，于，点为线段上一点，延长至点，连结，使，且，求证：．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现与相等．”
小涛：“利用这学期学的图形的旋转，构造全等三角形，可以解决问题”．
……
老师：“保留原题条件，若，则可求的值．”
（1）求证：；
（2）求让：；
（3）若，求的值（用含的式子表示）．