数学课上，何老师提出如下的问题：
如图
，在等边
中，点
在边
上，点
在边
的延长线上，且
，试确定
的形状，并说明理由；
如图
，过点作
，交
于点
，先证
是等边三角形，再证得
，从而得出是等腰三角形．
完成下面问题：
(1)上述思路证明的依据是_________；
(2)聪明的小智同学想到另一种不同的思路：过点作
交
于点．请沿着小智同学的思路，求证：是等腰三角形；
(3)在边长为的等边中，点在直线上运动，点在直线上运动，当
，且是等腰三角形时，请直接写出
的长．
如图
，在等边中，点在边上，点在边的延长线上，且，试确定的形状，并说明理由；如图
，过点作，交于点，先证是等边三角形，再证得，从而得出是等腰三角形． 完成下面问题：
(1)上述思路证明
的依据是_________；(2)聪明的小智同学想到另一种不同的思路：过点
作交于点．请沿着小智同学的思路，求证：是等腰三角形；(3)在边长为
的等边中，点在直线上运动，点在直线上运动，当，且是等腰三角形时，请直接写出的长．
更新时间：2024-04-09 13:42:14
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(0.65)
【推荐1】如图，在矩形
中，点
是边的中点，
是
的外接圆，交边于点．
；
(2)当
是以点
为中心的正六边形的一边时，求证：
．
中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点．
；(2)当
是以点为中心的正六边形的一边时，求证：．
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【推荐2】证明命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，要根据题意，画出图形，并用几何符号表示已知和求证．写出证明过程，下面是小文根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD， ．
求证： ．
请补全已知和求证部分，并写出证明过程．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD， ．
求证： ．
请补全已知和求证部分，并写出证明过程．
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，
，求
，再连接
（或将
绕着点
得到
），把
集中在
中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线
，
，
，求
，点
交边
，
，直接写出
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【推荐1】如图，
，
是
上一点，
平分
且过的中点，交
于点，
，交于点．
（1）求证四边形是菱形；
（2）若
，求菱形的面积．
，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点．（1）求证四边形
是菱形；（2）若
，求菱形的面积．
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(0.65)
【推荐2】如图，在平行四边形中，点E是
边的中点，请仅利用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．在边上找一点P，使点P是的中点，并说明理由．
B．在的延长线上找一点F, 使
的面积与平行四边形的面积相等，并说明理由．
中，点E是边的中点，请仅利用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．在
边上找一点P，使点P是的中点，并说明理由．B．在
的延长线上找一点F, 使的面积与平行四边形的面积相等，并说明理由．
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，
，当点
、
得到
，则
________；
________；
；
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【推荐1】对于平面直角坐标系
中的线段
及点Q，给出如下定义：若点Q满足
，则称点Q为线段的“中垂点”；当
时，称点Q线段的“完美中垂点”．
(1)如图1，
，下列各点中，线段
的中垂点是_____________．
(2)如图2，点A为x轴上一点，若
为线段的“完美中垂点”，写出线段
的两个“完美中垂点”是__________和__________．
(3)如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段的“完美中垂点”，点
在y轴正半轴上．
①请用尺规作图在线段
上方做出线段
的“完美中垂点”M
②求
（用含m的式子表示）及
．
中的线段及点Q，给出如下定义：若点Q满足，则称点Q为线段的“中垂点”；当时，称点Q线段的“完美中垂点”．(1)如图1，
，下列各点中，线段的中垂点是_____________．(2)如图2，点A为x轴上一点，若
为线段的“完美中垂点”，写出线段的两个“完美中垂点”是__________和__________．(3)如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段
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上方做出线段的“完美中垂点”M②求
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【推荐2】如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具．已知平行四边形较短的边的长度与菱形的边长相等．
(1)将菱形的一边与平行四边形的较短边重合，摆拼成如图所示的图形，
经过点
，连接交于点
．求证：点是的中点；
(2)如图
，在（1）的条件下，当
时，延长
，
交于点
，请探究，
之间的数量关系，并给出证明．
，分别是可活动的菱形和平行四边形学具．已知平行四边形较短的边的长度与菱形的边长相等．(1)将菱形的一边与平行四边形的较短边重合，摆拼成如图
所示的图形，经过点，连接交于点．求证：点是的中点；(2)如图
，在（1）的条件下，当时，延长，交于点，请探究，之间的数量关系，并给出证明．
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【推荐1】如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．
(2)若AE＝1，EF＝2，BE＝3，求BC的长．
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【推荐2】〖探究〗如图①，分别以△ABC的两边AB和AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连接DC、BE．求证：DC=BE.
〖拓展〗如图②，在四边形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=45°，连接AC、BD．若∠DAC=90°，AC=AD，则BD的长为_____.
〖拓展〗如图②，在四边形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=45°，连接AC、BD．若∠DAC=90°，AC=AD，则BD的长为_____.
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的图象上．
是矩形．
