【推荐1】【问题初探】（1）如图1，四边形中，，，，，分别是，上的点，且，试判断,,之间的关系．聪明的小明是这样做的：延长到点，使，连接，先证明，再证，故，，之间的数量关系为      ．

【类比探究】（2）如图2在四边形中，，，，点，分别在四边形的边，的延长线上，，连接，请根据小明的发现给你的启示写出，，之间的数量关系，并证明．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上．

（1）如图1，点A与点C关于y轴对称，点E、F分别是线段AC、AB上的点（点E不与点A、C重合），且∠BEF＝∠BAO．若∠BAO＝2∠OBE，求证：AF＝CE；
（2）如图2，若OA＝OB，在点A处有一等腰△AMN绕点A旋转，且AM＝MN，∠AMN＝90°．连接BN，点P为BN的中点，试猜想OP和MP的数量关系和位置关系，说明理由．

【推荐1】（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．

【推荐2】如图，将一块三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，一直角边始终经过点B，另一直角边与射线DC相交于点Q．设AP＝x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的数量关系？试证明你观察得到的结论；
（2）是否存在点P（P不与A重合），使△PCQ为等腰三角形？若存在，请求出相应的x值；若不存在，请说明理由；
（3）设以点B，C，P，Q为顶点的多边形的面积为y，试确定y与x之间的函数关系式．

【推荐1】如图，已知，中，，，点在边上，点在边上，连接、，．

(1)求证：；
(2)过点作，垂足为，交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长．

【推荐2】如图，矩形与矩形全等，点，，和点，，分别在同一直线上，且，，连接，．

(1)在图中，连接，则______；
(2)如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，当平分时，求点到的距离；
(3)如图，将图中的矩形绕点顺时针方向旋转，连接，，两线相交于点，求证：点是的中点．

【推荐3】【课本再现】
（1）如图1，四边形是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且．要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？
【知识应用】
（2）如图2，若在这个正方形花园的四边各开一个门E，F，G，H，并修建两条路和，使得，则这两条路等长吗？为什么？
【拓展延伸】
（3）如图3，将边长为10的正方形纸片沿折叠，点D落在边上的点N处，与交于点P，取的中点M，连接，则的最小值为______，此时的长度是______．

【推荐1】如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．

(1)求证：
(2)求证：四边形BFGH是正方形；
(3)求证：ED平分∠CEI