【推荐1】如图，在中，，．

(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点和点，连接；（不写作法，保留作图浪迹）
(2)求证：．

【推荐2】在中，，，点在边上，和关于直线对称，的平分线交于点，连接．
   
(1)求的度数；
(2)设．
①当为等腰三角形时，请求出此时m的值；
②有可能是直角三角形吗？若有，请直接写出相应m的值；若没有，请说明理由．

【推荐3】如图，在中，和分别垂直平分和．
(1)若，试求的周长．
(2)在中，，，求的度数．
(3)在 （2）中，若无的条件，你还能求出的度数吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．       
   

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．点C在第四象限，，且．

（1）点B的坐标为_________，点C的横坐标为________；
（2）设与x轴交于点D，连接，过点C作轴于点E．若射线平分，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

【推荐2】如图1，在平行四边形中，点E、F分别为的中点，点在对角线上，且．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，连交于点O，若，求的长．

【推荐3】四边形是边长为的正方形，为对角线上一点，连接．过点作，交于点．
   
(1)求证：．
(2)如图2，以为邻边作矩形，连接．
①若，求的值．
②探究是否存在最大值，若存在，请直接写出这个定值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F点，画出∠DCB的角平分线交AB于G并回答以下问题：
（1）求证：∠ABF＝∠BCD；
（2）判断△BCF的形状，并说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于A、B两点．直线OD⊥直线AB于点D．现有一点P从点D出发，沿线段DO向点O运动，另一点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到O时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）点A的坐标为　 　．
（2）设△OPQ的面积为S，问当t为何值时S的值最大？最大值是多少？
（3）是否存在某一时刻t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．

【推荐3】已知：如图， 为 的角平分线，且，为延长线上的一点， ，过作，为垂足．求证：

(1)；
(2)；
(3)．

【推荐1】[特例感知]如图1，在正方形中，点分别为的中点，、交于点．

(1)证明：．
(2)[初步探究]如图2，在正方形中，点为边上一点，分别交、于、，垂足为．求证：．
(3)[基本应用]如图3，将边长为8的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、边上，求出折痕的长．

【推荐2】（1）问题探究
如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD₁E₁和正方形BCD₂E₂，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD₁作D₁M⊥KH，D₂N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D₁M与线段D₂N的数量关系，并加以证明．
（2）拓展延伸
①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K₁H₁，K₂H₂，分别交直线AB于点H₁，H₂，使∠AH₁K₁=∠BH₂K₂=∠ACD₁．作D₁M⊥K₁H₁，D₂N⊥K₂H₂，垂足分别为点M，N．D₁M=D₂N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D₁M=D₂N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）

【推荐3】如图，在△ABC中，O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形且，求∠B的大小.