【推荐1】已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．

(1)如图l，求证：∠ABC+∠CAD=90°；
(2)如图2，过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB．求证：AC=2DE；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接BO交DE于点F，延长ED交⊙O于点G，连接AG，若AC=，BF=OD，求线段AG的长．

【推荐2】在正方形中，点P是边上一点，点E在的延长线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接、．
   
(1)如图①，若恰好经过点B，
①求证：；
②探究，，的数量关系并证明你的结论．
(2)如图②，若恰好经过点C，当时，求的值．

【推荐3】如图，在等腰中，，点E在AC上且不与点A、C重合，在的外部作等腰，使，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
请直接写出线段AF，AE的数量关系；
将绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
若，，在图的基础上将绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．

【推荐1】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∠EDF=90°，DE交AC于点G，DF经过点C．

（1）若∠B=60°．
①求∠ADE的度数；
②如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E₁DF₁，∠E₂DF₂，DE₁交直线AC于点P，DF₁交直线BC于点Q，DE₂交直线AC于点M，DF₂交直线BC于点N，求的值；
（2）将（1）问中的“若∠B=60°”改为“∠B=β（60°＜β＜90°）”，其余条件不变，判断的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．

【推荐2】如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

【推荐3】已知，点O是等边内的任一点，连接．

(1)如图1，已知，，将绕点按顺时针方向旋转得．
①的度数是　　　　；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
(2)设，．
①当，满足什么关系时，有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；
②若等边的边长为1，直接写出的最小值．

【推荐1】活动情境：某班在进行正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.如图，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点E、F），使点A落在边上的点P处，D点的对应点为点M，与交于点N处，连接与交于点H．所得结论：当点P恰为的中点时（如图1）：甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：四边形的面积；
乙：的边________ ；
丙：的周长为________ ；
你的任务：

(1)填充乙、丙两同学所得结果中的数据；
(2)请证明甲同学的结论；
(3)当点P在边上除点B、C外的任何一处（如图2）时：试问丙同学的结果是否发生变化？若变化，请写出正确的结论：若不变，请证明你的结论；

【推荐3】如图所示，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点.

（1）求证：；
（2）若，，求的半径.

【推荐1】数学概念
百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．
如图①，在四边形ABCD中，画出DC所在直线MN，边BC、AD分别在直线MN的两旁，则四边形ABCD就是凹四边形．

性质初探
（1）在图①所示的凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠A＋∠B＋∠D．
深入研究
（2）如图②，在凹四边形ABCD中，AB与CD所在直线垂直，AD与BC所在直线垂直，∠B、∠D的角平分线相交于点E．
①求证：∠A＋∠BCD＝180°；
②随着∠A的变化，∠BED的大小会发生变化吗？如果有变化，请探索∠BED与∠A的数量关系；如果没有变化，请求出∠BED的度数．

【推荐2】如图，将一个矩形纸片，放置在平面直角坐标系中，，是边上一点，将沿直线对折，得到．
   
（1）当平分时，求的度数和点的坐标．
（2）连接，当时，求的面积．

【推荐3】倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径．下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题．
习题 如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，说明理由．
解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，点F、D、E′在一条直线上．
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF
∴△AE′F≌△AEF（SAS）∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．
类比猜想：
（1）请同学们研究：如图（2），在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，还有EF=BE+DF吗？请说明理由．
（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，EF=BE+DF吗？请说明理由．