【推荐1】如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线向点运动，点在上的速度为每秒1个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度，过点作交折线于点，以点为旋转点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．当与重叠部分图形是三角形时，设三角形的面积为（平方单位），点的运动时间为（秒）．

   
(1)当时，求的长．
(2)求关于的函数解析式．
(3)当与重叠部分图形是轴对称图形时，直接写出的取值范围．

【推荐2】如图，抛物线，（m> l）与y轴正半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，C为对称轴上的点，且AC⊥BC.将△ABC绕B点沿顺时针方向旋转90°得到△DBE, D点恰好在抛物线上．
(1)求m的值．
(2)连EC交y轴于F，连DF, AE,试判断四边形AEDF的形状，并予以证明．
(3)M为y轴上的点，N为抛物线上的点，是否存在这样的M, N点，使四边形ABMN为矩形？若存在，求出M点,N点的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、、、．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当的面积等于的面积的时，求的值．
（3）当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知正方形ABCD的边长为8，点E为BC的中点，连接AE，并延长交射线DC于点F，将ABE沿着直线AE翻折，点B落在B′处，延长AB′，交直线CD于点M．

(1)判断AMF的形状并证明；
(2)将正方形变为矩形ABCD，且AB=6，BC=8，若B′恰好落在对角线AC上时，得到图2，此时CF=     ，=       ；
(3)在（2）的条件下，点E在BC边上．设BE为x，ABE沿直线AE翻折后与矩形ABCD重合的面积为y，求y与x之间的函数关系式．

【推荐2】综合与实践课上，刘老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

   

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，
(2)迁移探究
爱动脑的小明同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点在上时，　　；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断的度数，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．

【推荐3】如图，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

(1)将纸片按图的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段________，________；________．
(2)纸片还可以按图的方式折叠成一个叠合矩形，若，求的长．
(3)如图，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出的长．

【推荐1】如图，现有一张边长为2的正方形纸片，P为正方形的边上的一点（不与点A，D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，交于点H，折痕为EF，连接，．

(1)求证：
(2)当点P在边上移动时，的度数是否发生变化？请判断并证明你的结论．
(3)当点P在边上移动时，的周长是否发生变化？若不变，请直接写出答案．

【推荐2】如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

(1)【探究发现】
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接．根据以上操作，当点M在上时，____________；
(2)【类比应用】
如图2，小李将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；
(3)【拓展延伸】
如图3，在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点重合），当时，请直接写出的长．

【推荐1】已知：对于平面直角坐标系中的点P和的半径为4，交x轴于点A，B，对于点P给出如下定义：过点C 的直线与交于点M，N，点P为线段的中点，我们把这样的点P叫做关于的“折弦点”．
   
(1)若．
①点中是关于的“折弦点”的是 　        　；
②若直线上只存在一个关于的“折弦点”，求k的值；
(2)点C在线段上，直线上存在关于的“折弦点”，直接写出b的取值范围．

【推荐2】如图，在⊙O中，，BD交OC于点F，EB是⊙O的切线，交OA的延长线于点E，EF交OB于点G，连接BC．

(1)求证：△OBE∽△OFB．
(2)设∠CBD＝x度，∠OEB＝y度，求x，y之间的数量关系．
(3)若OB＝4，且OE平行△BCF的一边时，求出所有满足条件的EF的长．
(4)若OG＝BG，直接写出此时sin∠OBF的值．

【推荐3】已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝76°，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；
（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D，若AB＝AD．求∠EAC的大小．