【推荐1】如图1，在中，点D在的延长线上，且，分别过点D作交的延长线于点E，连接，交于点G，

(1)求的长，并证明；
(2)如图1，在射线上只用圆规作一点Q，使得（保留作图痕迹，并简要说明作法）；
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别取的中点M、N，动点H在上运动，求的最小值

【推荐2】已知，点D在的边上，连接．
   
(1)如图1，若．求证：；
(2)如图2，若，，，．求线段的长；
(3)如图3，M、N分别是上的两点，连接交于点P，当，时，若，直接写出的值______．

【推荐1】如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接．

　　 　　

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长．

【推荐3】如图2，点在正方形边上，以为对角线作正方形，连接，点是线段中点，连，，．
   
(1)试判断线段线的数量关系和位置关系，并说明理由．
(2)将正方形；绕点顺时针转度，连接，，如图1．
①当，，三点共线时，，，求的长；
②求证：．

【推荐1】实践与探究：
操作一：已知边长为8正方形纸片ABCD，将正方形纸片ABCD对折，使得点A和点D重合，点B和点C重合，折痕为EF．
操作二：如图①，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线翻折，点A的对应点为点N，折痕为BM．当N落在EF上时，BF和BN的数量关系是______;的大小为______．
操作三：如图②，再将纸片沿直线BN翻折，点M的对应点为点．当点在CD上时，求的度数．
操作四：如图③，当点M沿运动时，EN中点为K，连接DK，DK的最小值为______．

【推荐2】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．

(1)操作判断：
在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图①，当为中点时，是________三角形．
(2)迁移探究：
如图②，若，且，求正方形的边长．
如图③，若，直接写出的值为_______．

【推荐3】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作探究：
(1)如图，矩形纸片中，，，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕，连接，折叠，点D的对应点为点，过作于点G，则的长度为______．

迁移探究：
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
操作一：如图①，将正方形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕；
操作二：如图②，将正方形纸片的右上角沿折叠，得到点D的对应点；
操作三：如图③，将正方形纸片的左上角沿折叠再展开，折痕与边交于点P．
问题解决：请在图③中解决下列问题：
(2)求证：
(3)求证：．
拓展探究：
(4)在图③的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿折叠再展开，折痕与边交于点Q，如图④．试探究：______（直接写出结果，不需证明）．