【推荐1】在课堂上，老师布置了一道思考题：如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．

（1）求证：∠BQM＝60°；
（2）如图2，若将图1中的点M，N分别移动到BC、CA的延长线上，且BM＝CN，连接BN，AM，MA的延长线交BN于点Q（1）中的结论∠BQM＝60°是否仍然成立？请说明理由．

【推荐2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求证：BE＝CF；
（3）如果AB＝12，AC＝8，求AE的长．

【推荐3】问题背景：如图1，在正方形中，边长为4．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点．

(1)探索发现：探索线段与的数量关系和位置关系，并证明；
(2)拓展提高：如图2，延长至，连接，若，求线段的长．

【推荐1】数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．
小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下：
①第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线对齐；

②第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线对齐；

如图3，两把直尺的另一条边相交于点，作射线．射线是的平分线．

小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线．
小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线．
……
请你也参与探讨，解决以下问题：
(1)小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由；
(2)请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出下图中的平分线，并简述画图的过程．

【推荐2】如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，．

(1)求证：；
(2)求证：点O在的平分线上．

【推荐3】如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE平分∠DAB；
（2）若AD＝8，BC＝6，求四边形ABCD的面积．
   

【推荐1】【问题提出】如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．
【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．

(1)如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可以将△DCB绕点D按顺时针方向 旋转60°，得到△DA，则△BD的形状是        ；
(2)在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．
【类比应用】
(3)如图③，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝，求四边形ABCD的面积．

【推荐2】我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)如图①，请你在图中画出格点M，使得四边形OAMB是以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形；
(2)如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，CE．若∠DCB＝30°，则四边形ABCD是勾股四边形，为什么？

【推荐3】如图，以的边为直径作交边于点D，恰有．

(1)求证：与相切；
(2)在上取点E，使得，若，，求阴影部分的面积．