【推荐1】如图1，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，作射线．点P从点A出发沿向点D运动，将矩形沿折叠，点A落在点G处．设点P运动的路径长为x．

   

(1)①______；
②当时，与全等吗？请说明理由；
(2)当线段的长最小时，求的值？
(3)③若点G落在射线上，求x的值；
④请直接写出点G到射线的距离（用含x的式子表示）______．

【推荐2】[模型探究]
如图1，菱形中，，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、．为延长线上一点，且有，则

（1）_________（用>、<、=填写两者的数量关系），__________（用表示）．
[模型应用]
（2）如图2，当，其他条件不变．

①连接，运用（1）中的结论证明为等边三角形；
②试探究与的数量关系，并说明理由．
[迁移应用]
当，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由．

【推荐3】定义1：如图1，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的斜坐标，实数为点的横坐标．
定义2：在平面斜坐标系中，若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点，另一个公共点在边上（不与点重合），则称为的“点关联三角形”．

(1)已知的半径为，为的“点关联三角形”．
①如图2，点，，点的横坐标的最小值为          ，在，这两个点中，点可以与点          重合；
②若点，点，，，，点在轴下方．求满足条件的点轨迹长度；
(2)已知的半径为，点，点．若平面斜坐标系中存在点，使得是等边三角形，且为的“点关联三角形”，直接写出的取值范围．