【推荐3】已知直线，，分别是直线，上的一点，为平面上一点，为延长线上的一点，交于点F，和的角平分线，相交于点．
   
(1)如图1，
①若，，求的度数．
②试说明：．
(2)如图2，当点N位于点F的左侧时，若试求的度数．

【推荐1】如图1，是的弦，于D交圆于点A．E是上任意一点（不与A，B重合），连接，在线段上各取一点F，G，使得，连接，，并取中点M，连结．
                           
             
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，当是直径，F是中点时，连接，设，，用x的代数式表示y．

【推荐2】（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：；
（2）在中，，，是角平分线，，．
①应用探究如图（2），若，求证：；
②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．

【推荐3】发现问题：
（1）如图，小明在一张纸上画了一条线段，他把绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，通过查资料学习知道了为等边三角形，然后他找到上一点，把沿折叠，发现两侧能完全重合，由此得到以下关系式：
__________；       __________．（填，，）；
探究问题：
（2）如图，在四边形中，连接为上一点，与互相平分，且交于点，已知的面积为，，求的最小值；
解决问题：
（3）如图，某市文旅部门拟在黄河沿岸围建一个正方形的湿地公园，，点为上一个休息驿站，为上任意一点，根据实际情况，计划设计一个等边的停车区域，为入口，让车辆沿驶入到停车区，为出口，若修建一定宽度的公路每公里万元，请问修建路段的费用有无最小值？若有请求出；若没有请说明理由．

【推荐2】在菱形中，，点E，F分别是边，上的点．

【尝试初探】
（1）如图1，若，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O且，求证：
【拓展延伸】
（3）如图3，若点E为的中点，，，．
①设，，请用关于x的代数式表示y；
②若，求的长．

【推荐3】问题探究
（1）如图1，中，，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接，则的长为_______；
（2）如图2，在中，，为边上的高，若，试判断的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；

问题解决
（3）如图3，是某植物园的花卉展示区的部分平面示意图，其中，，边上的点为休息区，米，米，两条观光小路和（小路宽度不计，在边上，在边上）拟将这个展示区分成三个区域，用来展示不同的花卉，根据实际需要，，并且要求四边形的面积尽可能大，那么是否存在满足条件的四边形？若存在，请求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由．（结果保留根号）

【推荐3】（1）观察猜想：如图1，已知、、三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，，将矩形绕点旋转任意角度，连接、，是中点，若，求点运动的路径长．