1 . 对于正整数，我们规定：若为奇数，则：若为偶数，则，例如，，若，，，，，依此规律进行下去，得到一列数，，，，，，，为正整数），_____．

2 . 阅读材料：求的值．
解：设 ①，
则 ②．
用②-①得
∴．即．
∴．
以上方法我们称为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：
阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏，阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
(1)国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米；（用幂表示）
(2)设国王输给阿基米德的米粒数为S．求S．
(3)拓展应用：计算：；（仿照材料写出求解过程）

3 . 观察下列等式的规律，并解答问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；

(1)请根据规律写出第5个等式；
(2)请写出第（为正整数）个等式，并进行验证．

4 . 是不为的有理数，我们把称为的差倒数．如：的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则（       ）

A．

B．

C．

D．

5 . 定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知．是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则_______．

6 . 观察下列关于自然数的等式：

，①

，②

，③

…

根据上述规律解决下列问题：

(1)完成第四个等式：　 　；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
(3)根据你发现的规律，可知　 　．（直接写出结果即可）

7 . 观察下列等式：；
                              ；
                              ；
                              ……
根据以上规律，计算______．

8 . 若，则（       ）（其中表示不超过A的最大整数）

A．2019

B．2020

C．2021

D．2022

10 . 观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：　      ；
(2)直接写出你猜想的第n个等式，并通过计算得出第n个等式比第个等式大多少．（均用含n的式子表示）