1 . 已知:如图,等腰三角形中,,,直线经过点(点、都在直线的同侧),,,垂足分别为、.
(1)求证:;
(2)请判断、、三条线段之间有怎样的数量关系,并证明.
(1)求证:;
(2)请判断、、三条线段之间有怎样的数量关系,并证明.
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2 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得得所著的一部数学著作,在《几何原本》第六卷给出了内角平分线定理,其内容为:在一个三角形中,三角形一个内角的角平分线内分对边所成的两条线段,与这个角的两邻边对应成比例.例如,在中(图1),为的平分线,则有.
(2)如图2,已知的重心为,内心为,若的连线.求证:.
(1)试证明角平分线定理;
(2)如图2,已知的重心为,内心为,若的连线.求证:.
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名校
3 . 如图,在正方形ABCD中,.求证:.
证明:设CE与DF交于点O,
∵四边形ABCD是正方形,
∴,.
∴.
∵,∴.
∴.∴.
∴.∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后,决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图1,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且.试猜想的值,并证明你的猜想.
(2)【知识迁移】如图2,在矩形ABCD中,,,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且.则___________.
(3)【拓展应用】如图3,在四边形ABCD中,,,,点E、F分别在线段AB、AD上,且.求的值.
证明:设CE与DF交于点O,
∵四边形ABCD是正方形,
∴,.
∴.
∵,∴.
∴.∴.
∴.∴.
某数学兴趣小组在完成了以上解答后,决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图1,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且.试猜想的值,并证明你的猜想.
(2)【知识迁移】如图2,在矩形ABCD中,,,点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上,且.则___________.
(3)【拓展应用】如图3,在四边形ABCD中,,,,点E、F分别在线段AB、AD上,且.求的值.
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4 . 小明在学习矩形时发现:在矩形中,点是边上一点,过点作交边于点,若,则平分.他的证明思路是:利用矩形的性质得三角形全等,再利用边角转化使问题得以解决.请根据小明的思路完成以下作图与填空.
(1)用直尺和圆规,过点作的垂线交于点;(只保留作图痕迹)
(2)已知:如图,在矩形中,点是边上一点,过点作交边于点.求证:平分;
证明:四边形是矩形,
,
①_________________.
,
,
,
②_________________.
又,③_________________,
④_________________.
.
又,
,
.
⑤_________________,
.
.
平分.
(1)用直尺和圆规,过点作的垂线交于点;(只保留作图痕迹)
(2)已知:如图,在矩形中,点是边上一点,过点作交边于点.求证:平分;
证明:四边形是矩形,
,
①_________________.
,
,
,
②_________________.
又,③_________________,
④_________________.
.
又,
,
.
⑤_________________,
.
.
平分.
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5 . 数学课上,张老师给出这样一个问题:
已知,如图,正方形中,点是边上一点,作射线,过点作于点,交的延长线于点,连接.求证:.
(1)小明和小颖根据题中的条件发现:图1中存在和相等的角,即_________;
(2)在证明结论时,小明和小颖有了不同的思路.
小颖:我受结论中“”的启发,可在线段上截取,再证….
小明:我受结论中“”的启发,可构造一个以为直角边的等腰直角三角形…
请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明;
(3)张老师对问题进行了拓展;如图2,点,分别是线段,的中点,若,,则的长度为_________.
已知,如图,正方形中,点是边上一点,作射线,过点作于点,交的延长线于点,连接.求证:.
(1)小明和小颖根据题中的条件发现:图1中存在和相等的角,即_________;
(2)在证明结论时,小明和小颖有了不同的思路.
小颖:我受结论中“”的启发,可在线段上截取,再证….
小明:我受结论中“”的启发,可构造一个以为直角边的等腰直角三角形…
请从小明和小颖的思路中任选一种作出辅助线并给出证明;
(3)张老师对问题进行了拓展;如图2,点,分别是线段,的中点,若,,则的长度为_________.
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6 . 我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的,人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器.图1是它的示意图,其中与半圆的直径在同一直线上,且的长度与半圆的半径相等;与重直于点足够长.使用方法如图2所示,若要把三等分,只需适当放置三分角器,使经过的顶点,点落在边上,半圆与另一边恰好相切,切点为,则就把三等分了.为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.
已知:如图2,点在同一直线上,垂足为点,
求证:
已知:如图2,点在同一直线上,垂足为点,
求证:
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7 . 如图,在中,为边上一点,与分别为和的平分线.
(1)判断是什么三角形,并证明你的结论;
(2)比较与的大小;
(3)以为直径的交于点,连接与交于,若,,求证:,并求的值.
(1)判断是什么三角形,并证明你的结论;
(2)比较与的大小;
(3)以为直径的交于点,连接与交于,若,,求证:,并求的值.
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8 . 下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考,请帮助小明完成以下学习任务.
如图,OC平分,点P在OC上,M、N分别是、OB上的点,,求证:.
小明的思考:要证明,只需证明即可.
证法:如图①:∵OC平分,∴,
又∵,,∴,
∴;
请仔细阅读并完成以下任务:
(1)小明得出的依据是______(填序号).
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)如图②,在四边形ABCD中,,的平分线和的平分线交于CD边上点P,求证:.
(3)在(2)的条件下,如图③,若,,当△PBC有一个内角是45°时,的面积是______.
如图,OC平分,点P在OC上,M、N分别是、OB上的点,,求证:.
小明的思考:要证明,只需证明即可.
证法:如图①:∵OC平分,∴,
又∵,,∴,
∴;
请仔细阅读并完成以下任务:
(1)小明得出的依据是______(填序号).
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)如图②,在四边形ABCD中,,的平分线和的平分线交于CD边上点P,求证:.
(3)在(2)的条件下,如图③,若,,当△PBC有一个内角是45°时,的面积是______.
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9 . 请阅读下列材料,并完成相应的任务.
战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数.
下面是弦切角定理的部分证明过程:
证明:①如图1,AB与相切于点A.当圆心O在弦AC上时,容易得到,所以弦切角.
②如图2,AB与相切于点A.当圆心O在的外部时,过点A作直径AF交于点F,连接FC.
∵AF是直径,∴,∴.
∵AB与相切于点A,∴,∴,∴.
(1)如图3,AB与相切于点A,当圆心O在的内部时,过点A作直径AD交于点D,在上任取一点E,连接EC,ED,EA,求证:;
(2)如图3,已知的半径为1,弦切角,求的长.
战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.与圆有关的定理有很多,弦切角定理就是其中之一.我们把顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数.
下面是弦切角定理的部分证明过程:
证明:①如图1,AB与相切于点A.当圆心O在弦AC上时,容易得到,所以弦切角.
②如图2,AB与相切于点A.当圆心O在的外部时,过点A作直径AF交于点F,连接FC.
∵AF是直径,∴,∴.
∵AB与相切于点A,∴,∴,∴.
(1)如图3,AB与相切于点A,当圆心O在的内部时,过点A作直径AD交于点D,在上任取一点E,连接EC,ED,EA,求证:;
(2)如图3,已知的半径为1,弦切角,求的长.
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10 . 已知等边和等腰,,.
(1)如图①,点D在BC上,点E在AB上,P是BE的中点,连接AD,PD,求证:;
(2)如图②,点D在内部,点E在外部,P是BE的中点,连接AD、PD,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图③,若点D在内部,点E和点B重合,点P在BC下方,且为定值,当PD最大时,请直接写出的度数.
(1)如图①,点D在BC上,点E在AB上,P是BE的中点,连接AD,PD,求证:;
(2)如图②,点D在内部,点E在外部,P是BE的中点,连接AD、PD,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图③,若点D在内部,点E和点B重合,点P在BC下方,且为定值,当PD最大时,请直接写出的度数.
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