2010高三·四川·竞赛
1 . 已知函数
．
（1）试判断函数
的奇偶性，并给出证明；
（2）求在
上的最小值与最大值．
．（1）试判断函数
的奇偶性，并给出证明；（2）求
在上的最小值与最大值．
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2013高三·四川·竞赛
2 . 若实数
满足
，则称
为的不动点.已知函数
，其中，
、
为常数．
（1）若
，求函数的单调递增区间；
（2）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求实数的值；
（3）证明：不存在实数组
，使得互异的两个极值点均为不动点.
满足，则称为的不动点.已知函数，其中，、为常数．（1）若
，求函数的单调递增区间；（2）若
时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求实数的值；（3）证明：不存在实数组
，使得互异的两个极值点均为不动点.
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2005高三·四川·竞赛
3 . 某班有20人参加语文、数学考试各一次，考试按10分制评分，即成绩是0到10的整数.考试结果是：（1）没有0分；（2）没有两个同学的语文、数学成绩都相同.我们说“同学
比
的成绩好”是指“同学的语文、数学成绩都不低于”.证明：存在三个同学、、
，使得同学比的成绩好，同学比的成绩好.
比的成绩好”是指“同学的语文、数学成绩都不低于”.证明：存在三个同学、、，使得同学比的成绩好，同学比的成绩好.
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4 . 已知函数
，数列
满足
，
.记
.
（1）证明：
为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）记
，求数列
的前
项和公式
.
，数列满足，.记.（1）证明：
为等比数列，并求数列的通项公式；（2）记
，求数列的前项和公式.
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5 . 已知数列
满足
，
满足
.证明：
.
满足，满足.证明：.
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名校
6 . 已知拋物线
过定点C（l，2），在抛物线上任取不同于点C的一点A，直线AC与直线y=x+3交于点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线交于点B.
（1）证明：直线AB过定点；
（2）求△ABC面积的最小值.
过定点C（l，2），在抛物线上任取不同于点C的一点A，直线AC与直线y=x+3交于点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线交于点B.（1）证明：直线AB过定点；
（2）求△ABC面积的最小值.
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