2007高三·四川·竞赛
1 . 已知：
. 求证：
.
. 求证：.
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2006高三·四川·竞赛
2 . 如图，在
内取一点P，使
,作
于点D，
于点E.求证:DE的垂直平分线必过BC的中点M.
内取一点P，使,作于点D，于点E.求证:DE的垂直平分线必过BC的中点M.
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3 . 设
是
的
边外的旁切圆，
，
，
分别是与，
和
的切点（如图）．
（1）若
与
相交于
，求证：
平分．
（2）已知
，
，
，且
，求
．
是的边外的旁切圆，，，分别是与，和的切点（如图）．（1）若
与相交于，求证：平分．（2）已知
，，，且，求．
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4 . 已知: 
.求证:
(1)若
,且
,则 
(2)当
时,
.
.求证:(1)若
,且,则 (2)当
时,.
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5 . 设函数
在
上的最大值为
①求数列
的通项公式；
②证明：对任何正整数
，都有
成立；
③若数列的前n项和为
，证明：对任意正整数n，都有
成立.
在上的最大值为①求数列
的通项公式；②证明：对任何正整数
，都有成立；③若数列
的前n项和为，证明：对任意正整数n，都有成立.
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2004高三·四川·竞赛
6 . 如图，
分别是锐角的外心和垂心，是边的中点，由
向
及其外角平分线作垂线，垂足分别为
.证明：
三点共线.
分别是锐角的外心和垂心，是边的中点，由向及其外角平分线作垂线，垂足分别为.证明：三点共线.
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2005高三·四川·竞赛
7 . 如图，
、
是的两条高，、
分别是
、的中点，
是的外心.求证：
.
、是的两条高，、分别是、的中点，是的外心.求证：.
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8 . 给定一个由
个小正方形拼成的棋盘形方格，这些小正方形的颜色黑白相间（如图）.
现定义一种运算A：把位于第i行的所有小正方形和位于第j列的所有小正方形都换成相反的颜色，即黑色的小正方形换成白色的，白色的小正方形换成黑色的，这里
．我们把A称为在位于第i行第j列上的小正方形上的一次运算.试问：能否经过若干次上述运算把棋盘上的所有小正方形全部换成同一种颜色？证明你的结论.
个小正方形拼成的棋盘形方格，这些小正方形的颜色黑白相间（如图）.现定义一种运算A：把位于第i行的所有小正方形和位于第j列的所有小正方形都换成相反的颜色，即黑色的小正方形换成白色的，白色的小正方形换成黑色的，这里
．我们把A称为在位于第i行第j列上的小正方形上的一次运算.试问：能否经过若干次上述运算把棋盘上的所有小正方形全部换成同一种颜色？证明你的结论.
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9 . 设正数数列
，
，
，
满足：
（
=3，4，，
）且
，
.
（1）求，，
；
（2）证明，，，是自然数列，即
. （=1，2，，）
，，，满足：（=3，4，，）且，.（1）求
，，；（2）证明
，，，是自然数列，即. （=1，2，，）
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10 . 设整数
是区间
中的不同整数.证明：集合
有这样的子集存在，它的所有元素之和能被
整除.
是区间中的不同整数.证明：集合有这样的子集存在，它的所有元素之和能被整除.
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