1 . 对集合，定义其特征函数，考虑集合和正实数，定义为和式函数.设，则为闭区间列；如果集合对任意，有，则称是无交集合列，设集合.
(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设为闭区间列，是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，称为和式函数的典范形式.设为的典范数.
（i）设，证明：；
（ii）给定正整数，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.

2 . 给定素数，定义集合．对于，，定义如下：当时；当时．对于的一个子集，定义．若集合满足且对任意有则称集合为好集合．求最大正整数，使得可以找到个互不相同的好集合，，，，满足．

3 . 设k是正整数，集合A至少有两个元素，且.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质.
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由；
(2)若集合，求证：A不可能具有性质；
(3)若集合，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值.

4 . 我们称为“花式集合”，如果它满足如下三个条件：
（a）；
（b）的每个元素都是包含于中的闭区间（元素可重复）；
（c）对于任意实数中包含的元素个数不超过1011.
对于“花式集合”和区间，用表示使得的对的数量.求的最大值.